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Theorem oeeui 6642
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (This version of oeeu 6643 gives an explicit expression for the unique solution of the equation, in terms of the solution  P to omeu 6625.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oeeu.1  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
oeeu.2  |-  P  =  ( iota w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
oeeu.3  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
oeeu.4  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
Assertion
Ref Expression
oeeui  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, A    w, B, x, y, z    w, X, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)    D( x, y, z, w)    P( x, y, z, w)    E( x, y, z, w)    X( x)    Y( x, y, z, w)    Z( x, y, z, w)

Proof of Theorem oeeui
Dummy variables  a 
d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  A  e.  On )
21adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  A  e.  On )
32ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  A  e.  On )
4 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  e.  On )
5 oecl 6578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  On )
7 om1 6582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  1o )  =  ( A  ^o  C ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  1o )  =  ( A  ^o  C ) )
9 df1o2 6533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =  { (/) }
10 dif1o 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  <->  ( D  e.  A  /\  D  =/=  (/) ) )
1110simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  ->  D  =/=  (/) )
1211ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  =/=  (/) )
13 eldifi 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( A  \  1o )  ->  D  e.  A )
1413ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  e.  A )
15 onelon 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  On  /\  D  e.  A )  ->  D  e.  On )
163, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  D  e.  On )
17 on0eln0 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  On  ->  ( (/) 
e.  D  <->  D  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( (/)  e.  D  <->  D  =/=  (/) ) )
1912, 18mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  D )
2019snssd 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  { (/) }  C_  D
)
219, 20syl5eqss 3256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  1o  C_  D )
22 1on 6528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1o  e.  On
2322a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  1o  e.  On )
24 omwordi 6611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  D  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  ->  ( 1o  C_  D  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  1o ) 
C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) ) )
2523, 16, 6, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( 1o  C_  D  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  1o )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) ) )
2621, 25mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  1o )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) )
278, 26eqsstr3d 3247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  D ) )
28 omcl 6577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  D  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
296, 16, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
30 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  E  e.  ( A  ^o  C ) )
31 onelon 4454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  ->  E  e.  On )
326, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  E  e.  On )
33 oaword1 6592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On  /\  E  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
3429, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
35 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )
3634, 35sseqtrd 3248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  B )
3727, 36sstrd 3223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  B )
38 oeeu.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  = 
U. |^| { x  e.  On  |  B  e.  ( A  ^o  x
) }
3938oeeulem 6641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( X  e.  On  /\  ( A  ^o  X
)  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
4039simp3d 969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
4140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
4239simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  X  e.  On )
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  e.  On )
44 suceloni 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  On  ->  suc  X  e.  On )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  X  e.  On )
46 oecl 6578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  X )  e.  On )
473, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  X )  e.  On )
48 ontr2 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  ( A  ^o  suc  X
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  C ) 
C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )  ->  ( A  ^o  C )  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
496, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  X
) )  ->  ( A  ^o  C )  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
5037, 41, 49mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
51 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  A  e.  ( On  \  2o ) )
52 oeord 6628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  On  /\  suc  X  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( C  e.  suc  X  <-> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
534, 45, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  e.  suc  X  <-> 
( A  ^o  C
)  e.  ( A  ^o  suc  X ) ) )
5450, 53mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  e.  suc  X )
55 onsssuc 4517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( C  C_  X  <->  C  e.  suc  X ) )
564, 43, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  C_  X  <->  C  e.  suc  X ) )
5754, 56mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  C_  X )
5839simp2d 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
60 eloni 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
613, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  Ord  A )
62 ordsucss 4646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( D  e.  A  ->  suc  D  C_  A ) )
6361, 14, 62sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  D  C_  A )
64 suceloni 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  On  ->  suc  D  e.  On )
6516, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  D  e.  On )
66 dif20el 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  A
)
6751, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  A )
68 oen0 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )
693, 4, 67, 68syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )
70 omword 6610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( suc  D  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  C ) )  ->  ( suc  D 
C_  A  <->  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A
) ) )
7165, 3, 6, 69, 70syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( suc  D  C_  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  suc  D
)  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
7263, 71mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  suc  D )  C_  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
73 oaord 6587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On  /\  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  On )  -> 
( E  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) ) )
7432, 6, 29, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( E  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) ) )
7530, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
7635, 75eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
77 odi 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  D  e.  On  /\  1o  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  ( ( A  ^o  C )  .o  1o ) ) )
786, 16, 23, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  ( ( A  ^o  C )  .o  1o ) ) )
79 oa1suc 6572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  On  ->  ( D  +o  1o )  =  suc  D )
8016, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( D  +o  1o )  =  suc  D )
8180oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  ( D  +o  1o ) )  =  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D ) )
828oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  (
( A  ^o  C
)  .o  1o ) )  =  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
8378, 81, 823eqtr3d 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  suc  D )  =  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  ( A  ^o  C ) ) )
8476, 83eleqtrrd 2393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o 
suc  D ) )
8572, 84sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
86 oesuc 6568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
873, 4, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
8885, 87eleqtrrd 2393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  C ) )
89 oecl 6578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  ->  ( A  ^o  X
)  e.  On )
903, 43, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
91 suceloni 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  On  ->  suc  C  e.  On )
9291ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  suc  C  e.  On )
93 oecl 6578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  On )
943, 92, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  On )
95 ontr2 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  ( A  ^o  suc  C
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  X ) 
C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  C ) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9690, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( ( ( A  ^o  X )  C_  B  /\  B  e.  ( A  ^o  suc  C
) )  ->  ( A  ^o  X )  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9759, 88, 96mp2and 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) )
98 oeord 6628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  On  /\  suc  C  e.  On  /\  A  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( X  e.  suc  C  <-> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
9943, 92, 51, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( X  e.  suc  C  <-> 
( A  ^o  X
)  e.  ( A  ^o  suc  C ) ) )
10097, 99mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  e.  suc  C )
101 onsssuc 4517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( X  C_  C  <->  X  e.  suc  C ) )
10243, 4, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( X  C_  C  <->  X  e.  suc  C ) )
103100, 102mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  X  C_  C )
10457, 103eqssd 3230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  ->  C  =  X )
105104, 16jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) ) )  -> 
( C  =  X  /\  D  e.  On ) )
106 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  C  =  X )
10742ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  X  e.  On )
108106, 107eqeltrd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  C  e.  On )
1092ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  A  e.  On )
110109, 108, 5syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  e.  On )
111 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  On )
112110, 111, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On )
113 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  E  e.  ( A  ^o  C ) )
114110, 113, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  E  e.  On )
115112, 114, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E ) )
116 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )
117115, 116sseqtrd 3248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  C_  B )
11840ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  ( A  ^o  suc  X ) )
119 suceq 4494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  X  ->  suc  C  =  suc  X )
120119ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  suc  C  =  suc  X
)
121120oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( A  ^o  suc  X ) )
122109, 108, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
123121, 122eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  suc  X )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
124118, 123eleqtrd 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
125 omcl 6577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )
126110, 109, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )
127 ontr2 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  On  /\  ( ( A  ^o  C )  .o  A
)  e.  On )  ->  ( ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D ) 
C_  B  /\  B  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A
) )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
128112, 126, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  C_  B  /\  B  e.  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) )  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) ) )
129117, 124, 128mp2and 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
13066adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (/) 
e.  A )
131130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  (/) 
e.  A )
132109, 108, 131, 68syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )
133 omord2 6607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  ^o  C )  e.  On )  /\  (/) 
e.  ( A  ^o  C ) )  -> 
( D  e.  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
134111, 109, 110, 132, 133syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  e.  A  <->  ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  e.  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) ) )
135129, 134mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  A )
136106oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  =  ( A  ^o  X ) )
13758ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  X
)  C_  B )
138136, 137eqsstrd 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( A  ^o  C
)  C_  B )
139 eldifi 3332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( On  \  1o )  ->  B  e.  On )
140139adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  B  e.  On )
141140ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  B  e.  On )
142 ontri1 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  C )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
143110, 141, 142syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  C_  B  <->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
144138, 143mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  -.  B  e.  ( A  ^o  C ) )
145 om0 6558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  ^o  C )  e.  On  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  =  (/) )
146110, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  =  (/) )
147146oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  =  ( (/)  +o  E ) )
148 oa0r 6579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  On  ->  ( (/) 
+o  E )  =  E )
149114, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( (/)  +o  E )  =  E )
150147, 149eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  =  E )
151150, 113eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
)  e.  ( A  ^o  C ) )
152 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  C )  .o  D )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  (/) ) )
153152oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  ( ( ( A  ^o  C )  .o  (/) )  +o  E
) )
154153eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  e.  ( A  ^o  C )  <->  ( (
( A  ^o  C
)  .o  (/) )  +o  E )  e.  ( A  ^o  C ) ) )
155151, 154syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  =  (/)  ->  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  e.  ( A  ^o  C ) ) )
156116eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  e.  ( A  ^o  C )  <-> 
B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
157155, 156sylibd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( D  =  (/)  ->  B  e.  ( A  ^o  C ) ) )
158157necon3bd 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( -.  B  e.  ( A  ^o  C
)  ->  D  =/=  (/) ) )
159144, 158mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  =/=  (/) )
160135, 159, 10sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  ->  D  e.  ( A  \  1o ) )
161108, 160jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  /\  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) )  -> 
( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o ) ) )
162105, 161impbida 805 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  ->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  <->  ( C  =  X  /\  D  e.  On ) ) )
163162ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( E  e.  ( A  ^o  C
)  /\  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  ->  (
( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o ) )  <-> 
( C  =  X  /\  D  e.  On ) ) ) )
164163pm5.32rd 621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( ( C  =  X  /\  D  e.  On )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) )
165 anass 630 . . . 4  |-  ( ( ( C  =  X  /\  D  e.  On )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C
)  /\  ( (
( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) )
166164, 165syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) ) ) )
167 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
168 oveq2 5908 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  X  ->  ( A  ^o  C )  =  ( A  ^o  X
) )
169168eleq2d 2383 . . . . . . 7  |-  ( C  =  X  ->  ( E  e.  ( A  ^o  C )  <->  E  e.  ( A  ^o  X ) ) )
170168oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  X  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  D )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  D ) )
171170oveq1d 5915 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  X  ->  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E ) )
172171eqeq1d 2324 . . . . . . 7  |-  ( C  =  X  ->  (
( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )
173169, 1723anbi23d 1255 . . . . . 6  |-  ( C  =  X  ->  (
( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X )  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E
)  =  B ) ) )
174167, 173syl5bbr 250 . . . . 5  |-  ( C  =  X  ->  (
( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) ) )
1752, 42, 89syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  e.  On )
176 oen0 6626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  X  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  X ) )
1772, 42, 130, 176syl21anc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  X ) )
178 ne0i 3495 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( A  ^o  X
)  ->  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )
179177, 178syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( A  ^o  X
)  =/=  (/) )
180 omeu 6625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )  ->  E! a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( a  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B ) )
181 oeeu.2 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( iota w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )
182 opeq1 3833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  d  ->  <. y ,  z >.  =  <. d ,  z >. )
183182eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  d  ->  (
w  =  <. y ,  z >.  <->  w  =  <. d ,  z >.
) )
184 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  d  ->  (
( A  ^o  X
)  .o  y )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  d ) )
185184oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z ) )
186185eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  d  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  d )  +o  z )  =  B ) )
187183, 186anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  d  ->  (
( w  =  <. y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  ( w  =  <. d ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z )  =  B ) ) )
188 opeq2 3834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  e  ->  <. d ,  z >.  =  <. d ,  e >. )
189188eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  e  ->  (
w  =  <. d ,  z >.  <->  w  =  <. d ,  e >.
) )
190 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  e  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  z )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e ) )
191190eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  e  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  z
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  d )  +o  e )  =  B ) )
192189, 191anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  e  ->  (
( w  =  <. d ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  z )  =  B )  <->  ( w  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) ) )
193187, 192cbvrex2v 2807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. y ,  z
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B ) )
194 eqeq1 2322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  a  ->  (
w  =  <. d ,  e >.  <->  a  =  <. d ,  e >.
) )
195194anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  a  ->  (
( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B )  <->  ( a  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) ) )
1961952rexbidv 2620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  a  ->  ( E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. d ,  e >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) ) )
197193, 196syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  a  ->  ( E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X ) ( w  =  <. y ,  z >.  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  y
)  +o  z )  =  B )  <->  E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) ) )
198197cbviotav 5262 . . . . . . . . 9  |-  ( iota
w E. y  e.  On  E. z  e.  ( A  ^o  X
) ( w  = 
<. y ,  z >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  y )  +o  z
)  =  B ) )  =  ( iota a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B ) )
199181, 198eqtri 2336 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( iota a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X ) ( a  =  <. d ,  e
>.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e )  =  B ) )
200 oeeu.3 . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( 1st `  P
)
201 oeeu.4 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 2nd `  P
)
202 oveq2 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( A  ^o  X
)  .o  d )  =  ( ( A  ^o  X )  .o  D ) )
203202oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  d
)  +o  e )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  e ) )
204203eqeq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  e )  =  B ) )
205 oveq2 5908 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( A  ^o  X )  .o  D
)  +o  e )  =  ( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  E ) )
206205eqeq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  (
( ( ( A  ^o  X )  .o  D )  +o  e
)  =  B  <->  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B ) )
207199, 200, 201, 204, 206opiota 6332 . . . . . . 7  |-  ( E! a E. d  e.  On  E. e  e.  ( A  ^o  X
) ( a  = 
<. d ,  e >.  /\  ( ( ( A  ^o  X )  .o  d )  +o  e
)  =  B )  ->  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
208180, 207syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ^o  X
)  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( A  ^o  X )  =/=  (/) )  ->  ( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X )  /\  (
( ( A  ^o  X )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
209175, 140, 179, 208syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( D  e.  On  /\  E  e.  ( A  ^o  X
)  /\  ( (
( A  ^o  X
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
210174, 209sylan9bbr 681 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( On  \  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  /\  C  =  X )  ->  (
( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E )  =  B ) )  <->  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
211210pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( C  =  X  /\  ( D  e.  On  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) ) )
212166, 211bitrd 244 . 2  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )  <-> 
( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) ) )
213 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  <->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) ) )
214213anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) )
215 anass 630 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  E  e.  ( A  ^o  C
) )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B )  <->  ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
216214, 215bitri 240 . 2  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A 
\  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C )  .o  D )  +o  E
)  =  B )  <-> 
( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o ) )  /\  ( E  e.  ( A  ^o  C )  /\  (
( ( A  ^o  C )  .o  D
)  +o  E )  =  B ) ) )
217 3anass 938 . 2  |-  ( ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z )  <->  ( C  =  X  /\  ( D  =  Y  /\  E  =  Z
) ) )
218212, 216, 2173bitr4g 279 1  |-  ( ( A  e.  ( On 
\  2o )  /\  B  e.  ( On  \  1o ) )  -> 
( ( ( C  e.  On  /\  D  e.  ( A  \  1o )  /\  E  e.  ( A  ^o  C ) )  /\  ( ( ( A  ^o  C
)  .o  D )  +o  E )  =  B )  <->  ( C  =  X  /\  D  =  Y  /\  E  =  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   E!weu 2176    =/= wne 2479   E.wrex 2578   {crab 2581    \ cdif 3183    C_ wss 3186   (/)c0 3489   {csn 3674   <.cop 3677   U.cuni 3864   |^|cint 3899   Ord word 4428   Oncon0 4429   suc csuc 4431   iotacio 5254   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163   1oc1o 6514   2oc2o 6515    +o coa 6518    .o comu 6519    ^o coe 6520
This theorem is referenced by:  oeeu  6643  cantnflem3  7438  cantnflem4  7439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-oexp 6527
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