MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelim2 Unicode version

Theorem oelim2 6547
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem oelim2
StepHypRef Expression
1 limelon 4413 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 0ellim 4412 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
32adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  (/)  e.  B
)
4 oe0m1 6474 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
54biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( (/)  ^o  B )  =  (/) )
61, 3, 5syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  =  (/) )
7 eldif 3123 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  1o )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )
8 limord 4409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  Ord  B )
9 ordelon 4374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
108, 9sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
11 on0eln0 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  x  =/=  (/) ) )
12 el1o 6452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
1312necon3bbii 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  1o  <->  x  =/=  (/) )
1411, 13syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  -.  x  e.  1o ) )
15 oe0m1 6474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1615biimpd 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) ) )
1714, 16sylbird 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1918impr 605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  B  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
207, 19sylan2b 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  ( B  \  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
2120iuneq2dv 3886 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/) )
22 df-1o 6433 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  suc  (/)
23 limsuc 4598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  ( (/)  e.  B  <->  suc  (/)  e.  B ) )
242, 23mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim 
B  ->  suc  (/)  e.  B
)
2522, 24syl5eqel 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  B )
26 1on 6440 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
2726onirri 4457 . . . . . . . . . 10  |-  -.  1o  e.  1o
2825, 27jctir 526 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
B  ->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
29 eldif 3123 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  <->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
3028, 29sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  ( B  \  1o ) )
31 ne0i 3422 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  ->  ( B 
\  1o )  =/=  (/) )
32 iunconst 3873 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o )  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3330, 31, 323syl 20 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3421, 33eqtrd 2288 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
3534adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
366, 35eqtr4d 2291 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) )
37 oveq1 5785 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
38 oveq1 5785 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( (/)  ^o  x
) )
3938iuneq2d 3890 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x ) )
4037, 39eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) ) )
4136, 40syl5ibr 214 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( A  ^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x
) ) )
4241impcom 421 . 2  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
43 oelim 6487 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y ) )
44 limsuc 4598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  <->  suc  y  e.  B
) )
4544biimpa 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  B )
46 nsuceq0 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  y  =/=  (/)
4746a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  =/=  (/) )
48 dif1o 6453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  ( B 
\  1o )  <->  ( suc  y  e.  B  /\  suc  y  =/=  (/) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) )
5049ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
5150ad2antlr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
52 sssucid 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  suc  y
53 ordelon 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
548, 53sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
55 suceloni 4562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
5655ancli 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On ) )
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On ) )
58 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
59583expa 1156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6059ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On ) )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6157, 60sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6261anassrs 632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
63 oewordi 6543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  C_  suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6462, 63sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  y  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  C_ 
suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6564an32s 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  suc  y  -> 
( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6652, 65mpi 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) )
6766ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6851, 67jcad 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
69 oveq2 5786 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
7069sseq2d 3167 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x )  <->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
7170rcla4ev 2852 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) )  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x ) )
7268, 71syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  x ) ) )
7372ralrimiv 2598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) 
C_  ( A  ^o  x ) )
74 iunss2 3907 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x
)  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
7573, 74syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
76 difss 3264 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  1o )  C_  B
77 iunss1 3876 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o ) 
C_  B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x ) )
7876, 77ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )
79 oveq2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
8079cbviunv 3901 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8178, 80sseqtri 3171 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8281a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) 
C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
) )
8375, 82eqssd 3157 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8483adantlrl 703 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8543, 84eqtrd 2288 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8642, 85oe0lem 6466 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517    \ cdif 3110    C_ wss 3113   (/)c0 3416   U_ciun 3865   Ord word 4349   Oncon0 4350   Lim wlim 4351   suc csuc 4352  (class class class)co 5778   1oc1o 6426    ^o coe 6432
This theorem is referenced by:  oelimcl  6552  oaabs2  6597  omabs  6599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-oexp 6439
  Copyright terms: Public domain W3C validator