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Theorem oelim2 6801
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem oelim2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4608 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 0ellim 4607 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
32adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  (/)  e.  B
)
4 oe0m1 6728 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
54biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( (/)  ^o  B )  =  (/) )
61, 3, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  =  (/) )
7 eldif 3294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  1o )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )
8 limord 4604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  Ord  B )
9 ordelon 4569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
108, 9sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
11 on0eln0 4600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  x  =/=  (/) ) )
12 el1o 6706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
1312necon3bbii 2602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  1o  <->  x  =/=  (/) )
1411, 13syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  -.  x  e.  1o ) )
15 oe0m1 6728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1615biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) ) )
1714, 16sylbird 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1918impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  B  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
207, 19sylan2b 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  ( B  \  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
2120iuneq2dv 4078 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/) )
22 df-1o 6687 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  suc  (/)
23 limsuc 4792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  ( (/)  e.  B  <->  suc  (/)  e.  B ) )
242, 23mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim 
B  ->  suc  (/)  e.  B
)
2522, 24syl5eqel 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  B )
26 1on 6694 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
2726onirri 4651 . . . . . . . . . 10  |-  -.  1o  e.  1o
2825, 27jctir 525 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
B  ->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
29 eldif 3294 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  <->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
3028, 29sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  ( B  \  1o ) )
31 ne0i 3598 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  ->  ( B 
\  1o )  =/=  (/) )
32 iunconst 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o )  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3330, 31, 323syl 19 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3421, 33eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
3534adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
366, 35eqtr4d 2443 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) )
37 oveq1 6051 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
38 oveq1 6051 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( (/)  ^o  x
) )
3938iuneq2d 4082 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x ) )
4037, 39eqeq12d 2422 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) ) )
4136, 40syl5ibr 213 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( A  ^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x
) ) )
4241impcom 420 . 2  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
43 oelim 6741 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y ) )
44 limsuc 4792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  <->  suc  y  e.  B
) )
4544biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  B )
46 nsuceq0 4625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  y  =/=  (/)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  =/=  (/) )
48 dif1o 6707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  ( B 
\  1o )  <->  ( suc  y  e.  B  /\  suc  y  =/=  (/) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) )
5049ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
5150ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
52 sssucid 4622 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  suc  y
53 ordelon 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
548, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
55 suceloni 4756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
5655ancli 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On ) )
5754, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On ) )
58 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
59583expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6059ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On ) )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6157, 60sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6261anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
63 oewordi 6797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  C_  suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6462, 63sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  y  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  C_ 
suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6564an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  suc  y  -> 
( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6652, 65mpi 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) )
6766ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6851, 67jcad 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
69 oveq2 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
7069sseq2d 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x )  <->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
7170rspcev 3016 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) )  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x ) )
7268, 71syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  x ) ) )
7372ralrimiv 2752 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) 
C_  ( A  ^o  x ) )
74 iunss2 4100 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x
)  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
7573, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
76 difss 3438 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  1o )  C_  B
77 iunss1 4068 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o ) 
C_  B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )
79 oveq2 6052 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
8079cbviunv 4094 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8178, 80sseqtri 3344 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8281a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) 
C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
) )
8375, 82eqssd 3329 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8483adantlrl 701 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8543, 84eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8642, 85oe0lem 6720 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671    \ cdif 3281    C_ wss 3284   (/)c0 3592   U_ciun 4057   Ord word 4544   Oncon0 4545   Lim wlim 4546   suc csuc 4547  (class class class)co 6044   1oc1o 6680    ^o coe 6686
This theorem is referenced by:  oelimcl  6806  oaabs2  6851  omabs  6853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-oexp 6693
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