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Theorem oelim2 6767
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem oelim2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4578 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 0ellim 4577 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
32adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  (/)  e.  B
)
4 oe0m1 6694 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  (/) ) )
54biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( (/)  ^o  B )  =  (/) )
61, 3, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  =  (/) )
7 eldif 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  1o )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )
8 limord 4574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  Ord  B )
9 ordelon 4539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
108, 9sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
11 on0eln0 4570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  x  =/=  (/) ) )
12 el1o 6672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
1312necon3bbii 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  1o  <->  x  =/=  (/) )
1411, 13syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  -.  x  e.  1o ) )
15 oe0m1 6694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1615biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) ) )
1714, 16sylbird 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  On  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  1o  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
1918impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  B  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
207, 19sylan2b 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  B  /\  x  e.  ( B  \  1o ) )  ->  ( (/) 
^o  x )  =  (/) )
2120iuneq2dv 4049 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/) )
22 df-1o 6653 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  suc  (/)
23 limsuc 4762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
B  ->  ( (/)  e.  B  <->  suc  (/)  e.  B ) )
242, 23mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim 
B  ->  suc  (/)  e.  B
)
2522, 24syl5eqel 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  B )
26 1on 6660 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
2726onirri 4621 . . . . . . . . . 10  |-  -.  1o  e.  1o
2825, 27jctir 525 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
B  ->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
29 eldif 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  <->  ( 1o  e.  B  /\  -.  1o  e.  1o ) )
3028, 29sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  1o  e.  ( B  \  1o ) )
31 ne0i 3570 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  e.  ( B  \  1o )  ->  ( B 
\  1o )  =/=  (/) )
32 iunconst 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o )  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3330, 31, 323syl 19 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) (/)  =  (/) )
3421, 33eqtrd 2412 . . . . . 6  |-  ( Lim 
B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
3534adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
366, 35eqtr4d 2415 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( (/) 
^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) )
37 oveq1 6020 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  B )  =  ( (/)  ^o  B ) )
38 oveq1 6020 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( (/)  ^o  x
) )
3938iuneq2d 4053 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x ) )
4037, 39eqeq12d 2394 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  <->  ( (/)  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( (/)  ^o  x
) ) )
4136, 40syl5ibr 213 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  ( A  ^o  B )  = 
U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x
) ) )
4241impcom 420 . 2  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  ^o  B
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
43 oelim 6707 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y ) )
44 limsuc 4762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  <->  suc  y  e.  B
) )
4544biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  B )
46 nsuceq0 4595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  y  =/=  (/)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  =/=  (/) )
48 dif1o 6673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  ( B 
\  1o )  <->  ( suc  y  e.  B  /\  suc  y  =/=  (/) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) )
5049ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
B  ->  ( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
5150ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  suc  y  e.  ( B  \  1o ) ) )
52 sssucid 4592 . . . . . . . . . . 11  |-  y  C_  suc  y
53 ordelon 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
548, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  On )
55 suceloni 4726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
5655ancli 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On ) )
5754, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On ) )
58 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
59583expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6059ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On ) )  ->  (
y  e.  On  /\  suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6157, 60sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
6261anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On ) )
63 oewordi 6763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  y  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  C_  suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6462, 63sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  y  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  C_ 
suc  y  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) ) )
6564an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  suc  y  -> 
( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6652, 65mpi 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  Lim  B
)  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y
) )
6766ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
6851, 67jcad 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
69 oveq2 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
7069sseq2d 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x )  <->  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) ) )
7170rspcev 2988 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  y  e.  ( B  \  1o )  /\  ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  suc  y ) )  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x ) )
7268, 71syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( y  e.  B  ->  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y
)  C_  ( A  ^o  x ) ) )
7372ralrimiv 2724 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y ) 
C_  ( A  ^o  x ) )
74 iunss2 4070 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  E. x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  y )  C_  ( A  ^o  x
)  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
7573, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  C_  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
76 difss 3410 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  1o )  C_  B
77 iunss1 4039 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  1o ) 
C_  B  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x ) )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )
79 oveq2 6021 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
8079cbviunv 4064 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  B  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8178, 80sseqtri 3316 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x )  C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y )
8281a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) 
C_  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
) )
8375, 82eqssd 3301 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8483adantlrl 701 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  U_ y  e.  B  ( A  ^o  y
)  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8543, 84eqtrd 2412 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
8642, 85oe0lem 6686 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  ^o  B )  =  U_ x  e.  ( B  \  1o ) ( A  ^o  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643    \ cdif 3253    C_ wss 3256   (/)c0 3564   U_ciun 4028   Ord word 4514   Oncon0 4515   Lim wlim 4516   suc csuc 4517  (class class class)co 6013   1oc1o 6646    ^o coe 6652
This theorem is referenced by:  oelimcl  6772  oaabs2  6817  omabs  6819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-oexp 6659
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