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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oen0 | Unicode version |
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.) |
Ref | Expression |
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oen0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 6048 |
. . . . . 6
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2 | 1 | eleq2d 2471 |
. . . . 5
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3 | oveq2 6048 |
. . . . . 6
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4 | 3 | eleq2d 2471 |
. . . . 5
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5 | oveq2 6048 |
. . . . . 6
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6 | 5 | eleq2d 2471 |
. . . . 5
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7 | oveq2 6048 |
. . . . . 6
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8 | 7 | eleq2d 2471 |
. . . . 5
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9 | 0lt1o 6707 |
. . . . . . 7
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10 | oe0 6725 |
. . . . . . 7
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11 | 9, 10 | syl5eleqr 2491 |
. . . . . 6
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12 | 11 | adantr 452 |
. . . . 5
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13 | simpl 444 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | oecl 6740 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | 13, 14 | jca 519 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | omordi 6768 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | om0 6720 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | 17 | eleq1d 2470 |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | 18 | ad2antlr 708 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 16, 19 | sylibd 206 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 15, 20 | sylan 458 |
. . . . . . . . . 10
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22 | oesuc 6730 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 22 | eleq2d 2471 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | adantr 452 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 21, 24 | sylibrd 226 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | exp31 588 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | com12 29 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | com34 79 |
. . . . . 6
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29 | 28 | imp3a 421 |
. . . . 5
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30 | 0ellim 4603 |
. . . . . . . . . . . 12
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31 | eqimss2 3361 |
. . . . . . . . . . . . 13
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32 | 10, 31 | syl 16 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | oveq2 6048 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 33 | sseq2d 3336 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 34 | rspcev 3012 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 30, 32, 35 | syl2an 464 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | ssiun 4093 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 36, 37 | syl 16 |
. . . . . . . . . 10
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39 | 38 | adantrr 698 |
. . . . . . . . 9
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40 | vex 2919 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | oelim 6737 |
. . . . . . . . . . . 12
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42 | 40, 41 | mpanlr1 668 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 42 | anasss 629 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 43 | an12s 777 |
. . . . . . . . 9
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45 | 39, 44 | sseqtr4d 3345 |
. . . . . . . 8
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46 | limelon 4604 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 40, 46 | mpan 652 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | oecl 6740 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48 | ancoms 440 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 47, 49 | sylan 458 |
. . . . . . . . . 10
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51 | eloni 4551 |
. . . . . . . . . 10
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52 | ordgt0ge1 6700 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 50, 51, 52 | 3syl 19 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53 | adantrr 698 |
. . . . . . . 8
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55 | 45, 54 | mpbird 224 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | ex 424 |
. . . . . 6
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57 | 56 | a1dd 44 |
. . . . 5
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58 | 2, 4, 6, 8, 12, 29, 57 | tfinds3 4803 |
. . . 4
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59 | 58 | exp3a 426 |
. . 3
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60 | 59 | com12 29 |
. 2
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61 | 60 | imp31 422 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem is referenced by: oeordi 6789 oeordsuc 6796 oeoelem 6800 oelimcl 6802 oeeui 6804 cantnflt 7583 cnfcom 7613 infxpenc 7855 infxpenc2 7859 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2385 ax-rep 4280 ax-sep 4290 ax-nul 4298 ax-pow 4337 ax-pr 4363 ax-un 4660 |
This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3or 937 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2258 df-mo 2259 df-clab 2391 df-cleq 2397 df-clel 2400 df-nfc 2529 df-ne 2569 df-ral 2671 df-rex 2672 df-reu 2673 df-rab 2675 df-v 2918 df-sbc 3122 df-csb 3212 df-dif 3283 df-un 3285 df-in 3287 df-ss 3294 df-pss 3296 df-nul 3589 df-if 3700 df-pw 3761 df-sn 3780 df-pr 3781 df-tp 3782 df-op 3783 df-uni 3976 df-iun 4055 df-br 4173 df-opab 4227 df-mpt 4228 df-tr 4263 df-eprel 4454 df-id 4458 df-po 4463 df-so 4464 df-fr 4501 df-we 4503 df-ord 4544 df-on 4545 df-lim 4546 df-suc 4547 df-om 4805 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-iota 5377 df-fun 5415 df-fn 5416 df-f 5417 df-f1 5418 df-fo 5419 df-f1o 5420 df-fv 5421 df-ov 6043 df-oprab 6044 df-mpt2 6045 df-recs 6592 df-rdg 6627 df-1o 6683 df-oadd 6687 df-omul 6688 df-oexp 6689 |
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