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Theorem oen0 6586
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oen0  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oen0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5868 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
21eleq2d 2352 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x
)  <->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3 oveq2 5868 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
43eleq2d 2352 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  y ) ) )
5 oveq2 5868 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
65eleq2d 2352 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) )
7 oveq2 5868 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
87eleq2d 2352 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
9 0lt1o 6505 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
10 oe0 6523 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
119, 10syl5eleqr 2372 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  (/) ) )
13 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
14 oecl 6538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1513, 14jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On ) )
16 omordi 6566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
) ) )
17 om0 6518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  (/) )  =  (/) )
1817eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
1918ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2016, 19sylibd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2115, 20sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
22 oesuc 6528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
2322eleq2d 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2423adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2521, 24sylibrd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
2625exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2726com12 27 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2827com34 77 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2928imp3a 420 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
30 0ellim 4456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
31 eqimss2 3233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  1o  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
3210, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
33 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3433sseq2d 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( 1o  C_  ( A  ^o  y
)  <->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534rspcev 2886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
3630, 32, 35syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
37 ssiun 3946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y
)  ->  1o  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
3938adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
40 vex 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
41 oelim 6535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4240, 41mpanlr1 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4342anasss 628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4443an12s 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4539, 44sseqtr4d 3217 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_  ( A  ^o  x
) )
46 limelon 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
4740, 46mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
48 oecl 6538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
4948ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
5047, 49sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
51 eloni 4404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ^o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  x
) )
52 ordgt0ge1 6498 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  x
)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5453adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5545, 54mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) )
5655ex 423 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) )
5756a1dd 42 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) ) )
582, 4, 6, 8, 12, 29, 57tfinds3 4657 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) ) )
5958exp3a 425 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6059com12 27 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6160imp31 421 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   (/)c0 3457   U_ciun 3907   Ord word 4393   Oncon0 4394   Lim wlim 4395   suc csuc 4396  (class class class)co 5860   1oc1o 6474    .o comu 6479    ^o coe 6480
This theorem is referenced by:  oeordi  6587  oeordsuc  6594  oeoelem  6598  oelimcl  6600  oeeui  6602  cantnflt  7375  cnfcom  7405  infxpenc  7647  infxpenc2  7651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-oexp 6487
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