Theorem oen0 6552

Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oen0	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Proof of Theorem oen0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5800	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
2	1	eleq2d 2325	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o (/) ) ) )
3		oveq2 5800	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
4	3	eleq2d 2325	. . . . 5 |- ( x = y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o y ) ) )
5		oveq2 5800	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
6	5	eleq2d 2325	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
7		oveq2 5800	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) )
8	7	eleq2d 2325	. . . . 5 |- ( x = B -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o B ) ) )
9		0lt1o 6471	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
10		oe0 6489	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
11	9, 10	syl5eleqr 2345	. . . . . 6 |- ( A e. On -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
12	11	adantr 453	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
13		simpl 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> A e. On )
14		oecl 6504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
15	13, 14	jca 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) )
16		omordi 6532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
17		om0 6484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) = (/) )
18	17	eleq1d 2324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
19	18	ad2antlr 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
20	16, 19	sylibd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
21	15, 20	sylan 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
22		oesuc 6494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
23	22	eleq2d 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
24	23	adantr 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
25	21, 24	sylibrd 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
26	25	exp31 590	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( y e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
27	26	com12 29	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
28	27	com34 79	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
29	28	imp3a 422	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) )
30		0ellim 4426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> (/) e. x )
31		eqimss2 3206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o (/) ) = 1o -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. On -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
33		oveq2 5800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> ( A ^o y ) = ( A ^o (/) ) )
34	33	sseq2d 3181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( 1o C_ ( A ^o y ) <-> 1o C_ ( A ^o (/) ) ) )
35	34	rcla4ev 2859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. x /\ 1o C_ ( A ^o (/) ) ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
36	30, 32, 35	syl2an 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
37		ssiun 3918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
39	38	adantrr 700	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
40		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
41		oelim 6501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
42	40, 41	mpanlr1 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
43	42	anasss 631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
44	43	an12s 779	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
45	39, 44	sseqtr4d 3190	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ ( A ^o x ) )
46		limelon 4427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
47	40, 46	mpan 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim x -> x e. On )
48		oecl 6504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
49	48	ancoms 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
50	47, 49	sylan 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
51		eloni 4374	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^o x ) e. On -> Ord ( A ^o x ) )
52		ordgt0ge1 6464	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( A ^o x ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
53	50, 51, 52	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
54	53	adantrr 700	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
55	45, 54	mpbird 225	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> (/) e. ( A ^o x ) )
56	55	ex 425	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) )
57	56	a1dd 44	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( A. y e. x (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) ) )
58	2, 4, 6, 8, 12, 29, 57	tfinds3 4627	. . . 4 |- ( B e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) ) )
59	58	exp3a 427	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
60	59	com12 29	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
61	60	imp31 423	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1619   e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763   C_ wss 3127   (/)c0 3430   U_ciun 3879   Ord word 4363   Oncon0 4364   Lim wlim 4365   suc csuc 4366  (class class class)co 5792   1oc1o 6440   .o comu 6445   ^o coe 6446

This theorem is referenced by:  oeordi  6553  oeordsuc  6560  oeoelem  6564  oelimcl  6566  oeeui  6568  cantnflt  7341  cnfcom  7371  infxpenc  7613  infxpenc2  7617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-oexp 6453