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Theorem oen0 6517
Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oen0  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )

Proof of Theorem oen0
StepHypRef Expression
1 oveq2 5765 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
21eleq2d 2323 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x
)  <->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) ) )
3 oveq2 5765 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
43eleq2d 2323 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  y ) ) )
5 oveq2 5765 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
65eleq2d 2323 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) )
7 oveq2 5765 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
87eleq2d 2323 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) ) )
9 0lt1o 6436 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
10 oe0 6454 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
119, 10syl5eleqr 2343 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (/)  e.  ( A  ^o  (/) ) )
1211adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  (/) ) )
13 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
14 oecl 6469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
1513, 14jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On ) )
16 omordi 6497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
) ) )
17 om0 6449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  (/) )  =  (/) )
1817eleq1d 2322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  y )  e.  On  ->  (
( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
1918ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( ( ( A  ^o  y )  .o  (/) )  e.  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2016, 19sylibd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( A  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2115, 20sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
22 oesuc 6459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
2322eleq2d 2323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y )  <->  (/) 
e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2423adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
)  <->  (/)  e.  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) ) )
2521, 24sylibrd 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  ( A  ^o  y ) )  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  e.  ( A  ^o  suc  y ) ) )
2625exp31 590 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2726com12 29 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  ( (/) 
e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2827com34 79 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (
(/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  suc  y
) ) ) ) )
2928imp3a 422 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  -> 
( (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  suc  y ) ) ) )
30 0ellim 4391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
31 eqimss2 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  1o  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
3210, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )
33 oveq2 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A  ^o  y )  =  ( A  ^o  (/) ) )
3433sseq2d 3148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( 1o  C_  ( A  ^o  y
)  <->  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) ) )
3534rcla4ev 2835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  1o  C_  ( A  ^o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
3630, 32, 35syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y ) )
37 ssiun 3885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  x  1o  C_  ( A  ^o  y
)  ->  1o  C_  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
3938adantrr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_ 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
40 vex 2743 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
41 oelim 6466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4240, 41mpanlr1 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
4342anasss 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4443an12s 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
4539, 44sseqtr4d 3157 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  1o  C_  ( A  ^o  x
) )
46 limelon 4392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
4740, 46mpan 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
48 oecl 6469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
4948ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x
)  e.  On )
5047, 49sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( A  ^o  x )  e.  On )
51 eloni 4339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  ^o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  ^o  x
) )
52 ordgt0ge1 6429 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( A  ^o  x
)  ->  ( (/)  e.  ( A  ^o  x )  <-> 
1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5350, 51, 523syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5453adantrr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  ( (/) 
e.  ( A  ^o  x )  <->  1o  C_  ( A  ^o  x ) ) )
5545, 54mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
) )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) )
5655ex 425 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) )
5756a1dd 44 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A. y  e.  x  (/)  e.  ( A  ^o  y )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  x ) ) ) )
582, 4, 6, 8, 12, 29, 57tfinds3 4592 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  ->  (/) 
e.  ( A  ^o  B ) ) )
5958exp3a 427 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6059com12 29 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  (
(/)  e.  A  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B
) ) ) )
6160imp31 423 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  (/)  e.  ( A  ^o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   (/)c0 3397   U_ciun 3846   Ord word 4328   Oncon0 4329   Lim wlim 4330   suc csuc 4331  (class class class)co 5757   1oc1o 6405    .o comu 6410    ^o coe 6411
This theorem is referenced by:  oeordi  6518  oeordsuc  6525  oeoelem  6529  oelimcl  6531  oeeui  6533  cantnflt  7306  cnfcom  7336  infxpenc  7578  infxpenc2  7582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-oexp 6418
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