Theorem oen0 6821

Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oen0	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Proof of Theorem oen0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6081	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
2	1	eleq2d 2502	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o (/) ) ) )
3		oveq2 6081	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
4	3	eleq2d 2502	. . . . 5 |- ( x = y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o y ) ) )
5		oveq2 6081	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
6	5	eleq2d 2502	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
7		oveq2 6081	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) )
8	7	eleq2d 2502	. . . . 5 |- ( x = B -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o B ) ) )
9		0lt1o 6740	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
10		oe0 6758	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
11	9, 10	syl5eleqr 2522	. . . . . 6 |- ( A e. On -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
12	11	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
13		simpl 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> A e. On )
14		oecl 6773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
15	13, 14	jca 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) )
16		omordi 6801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
17		om0 6753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) = (/) )
18	17	eleq1d 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
19	18	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
20	16, 19	sylibd 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
21	15, 20	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
22		oesuc 6763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
23	22	eleq2d 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
24	23	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
25	21, 24	sylibrd 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
26	25	exp31 588	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( y e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
27	26	com12 29	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
28	27	com34 79	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
29	28	imp3a 421	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) )
30		0ellim 4635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> (/) e. x )
31		eqimss2 3393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o (/) ) = 1o -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
32	10, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. On -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
33		oveq2 6081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> ( A ^o y ) = ( A ^o (/) ) )
34	33	sseq2d 3368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( 1o C_ ( A ^o y ) <-> 1o C_ ( A ^o (/) ) ) )
35	34	rspcev 3044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. x /\ 1o C_ ( A ^o (/) ) ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
36	30, 32, 35	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
37		ssiun 4125	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
39	38	adantrr 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
40		vex 2951	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
41		oelim 6770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
42	40, 41	mpanlr1 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
43	42	anasss 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
44	43	an12s 777	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
45	39, 44	sseqtr4d 3377	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ ( A ^o x ) )
46		limelon 4636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
47	40, 46	mpan 652	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim x -> x e. On )
48		oecl 6773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
49	48	ancoms 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
50	47, 49	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
51		eloni 4583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^o x ) e. On -> Ord ( A ^o x ) )
52		ordgt0ge1 6733	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( A ^o x ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
53	50, 51, 52	3syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
54	53	adantrr 698	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
55	45, 54	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> (/) e. ( A ^o x ) )
56	55	ex 424	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) )
57	56	a1dd 44	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( A. y e. x (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) ) )
58	2, 4, 6, 8, 12, 29, 57	tfinds3 4836	. . . 4 |- ( B e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) ) )
59	58	exp3a 426	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
60	59	com12 29	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
61	60	imp31 422	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1652   e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   C_ wss 3312   (/)c0 3620   U_ciun 4085   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   .o comu 6714   ^o coe 6715

This theorem is referenced by:  oeordi  6822  oeordsuc  6829  oeoelem  6833  oelimcl  6835  oeeui  6837  cantnflt  7619  cnfcom  7649  infxpenc  7891  infxpenc2  7895

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-oexp 6722