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Theorem oeordi 6580
Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeordi  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( A  e.  B  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  B ) ) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem oeordi
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  ^o  x
)  =  ( C  ^o  suc  A ) )
21eleq2d 2351 . . . 4  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x )  <-> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) )
32imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A
) ) ) )
4 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( C  ^o  x )  =  ( C  ^o  y
) )
54eleq2d 2351 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  x )  <->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )
65imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
7 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  ^o  x
)  =  ( C  ^o  suc  y ) )
87eleq2d 2351 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x )  <-> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) )
98imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) ) )
10 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( C  ^o  x )  =  ( C  ^o  B
) )
1110eleq2d 2351 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  x )  <->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  B ) ) )
1211imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  B ) ) ) )
13 eldifi 3299 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  C  e.  On )
14 oecl 6531 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  On )
1513, 14sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  On )
16 om1 6535 . . . . . . 7  |-  ( ( C  ^o  A )  e.  On  ->  (
( C  ^o  A
)  .o  1o )  =  ( C  ^o  A ) )
1715, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  =  ( C  ^o  A ) )
18 ondif2 6496 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  <->  ( C  e.  On  /\  1o  e.  C ) )
1918simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  1o  e.  C )
2019adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  1o  e.  C )
2113adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  C  e.  On )
22 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  A  e.  On )
23 dif20el 6499 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  (/)  e.  C
)
2423adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  -> 
(/)  e.  C )
25 oen0 6579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  (/)  e.  ( C  ^o  A ) )
2621, 22, 24, 25syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  -> 
(/)  e.  ( C  ^o  A ) )
27 omordi 6559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  ( C  ^o  A
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( C  ^o  A ) )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  A
)  .o  C ) ) )
2821, 15, 26, 27syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) ) )
2920, 28mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  A )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
3017, 29eqeltrrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
31 oesuc 6521 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  A )  =  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
3213, 31sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  A )  =  ( ( C  ^o  A )  .o  C ) )
3330, 32eleqtrrd 2361 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) )
3433expcom 426 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) )
35 oecl 6531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  On )
3613, 35sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  On )
37 om1 6535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  ^o  y )  e.  On  ->  (
( C  ^o  y
)  .o  1o )  =  ( C  ^o  y ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  =  ( C  ^o  y ) )
3919adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  1o  e.  C )
4013adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  C  e.  On )
41 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  y  e.  On )
4223adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  -> 
(/)  e.  C )
43 oen0 6579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  (/)  e.  ( C  ^o  y ) )
4440, 41, 42, 43syl21anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  -> 
(/)  e.  ( C  ^o  y ) )
45 omordi 6559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  ( C  ^o  y
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  y
)  .o  C ) ) )
4640, 36, 44, 45syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( 1o  e.  C  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  y )  .o  C ) ) )
4739, 46mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  y )  .o  1o )  e.  ( ( C  ^o  y )  .o  C ) )
4838, 47eqeltrrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  ( ( C  ^o  y )  .o  C ) )
49 oesuc 6521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  =  ( ( C  ^o  y
)  .o  C ) )
5013, 49sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  =  ( ( C  ^o  y
)  .o  C ) )
5148, 50eleqtrrd 2361 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  y
)  e.  ( C  ^o  suc  y ) )
52 suceloni 4603 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
53 oecl 6531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  e.  On )
5413, 52, 53syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( C  ^o  suc  y )  e.  On )
55 ontr1 4437 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  ^o  suc  y
)  e.  On  ->  ( ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y )  /\  ( C  ^o  y )  e.  ( C  ^o  suc  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
)  /\  ( C  ^o  y )  e.  ( C  ^o  suc  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) )
5751, 56mpan2d 657 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( On 
\  2o )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) )
5857expcom 426 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  (
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y )  -> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  y ) ) ) )
5958adantr 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  y )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
)  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) ) )
6059a2d 25 . . 3  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  y )  ->  ( ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  y
) ) ) )
61 bi2.04 352 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
6261ralbii 2568 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  e.  ( On 
\  2o )  -> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( C  e.  ( On  \  2o )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
63 r19.21v 2631 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <-> 
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
6462, 63bitri 242 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  e.  ( On 
\  2o )  -> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) )  <->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) ) )
65 limsuc 4639 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
6665biimpa 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  suc  A  e.  x )
67 elex 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc 
A  e.  x  ->  suc  A  e.  _V )
68 sucexb 4599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
69 sucidg 4469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7068, 69sylbir 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc 
A  e.  _V  ->  A  e.  suc  A )
7167, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  x  ->  A  e.  suc  A )
72 eleq2 2345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( A  e.  y  <-> 
A  e.  suc  A
) )
73 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  ^o  y
)  =  ( C  ^o  suc  A ) )
7473eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y )  <-> 
( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) )
7572, 74imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  <->  ( A  e. 
suc  A  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) ) )
7675rspcv 2881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  A  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) ) )
7771, 76mpid 39 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A
) ) )
7877anc2li 542 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( suc  A  e.  x  /\  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  suc  A ) ) ) )
7974rspcev 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) )  ->  E. y  e.  x  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )
80 eliun 3910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y )  <->  E. y  e.  x  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )
8179, 80sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  suc  A ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
8278, 81syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) ) )
8366, 82syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) ) )
8483adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e. 
U_ y  e.  x  ( C  ^o  y
) ) )
8513adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  C  e.  On )
86 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  Lim  x )
8723adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  (/)  e.  C
)
88 vex 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
89 oelim 6528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
9088, 89mpanlr1 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  C )  -> 
( C  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
9185, 86, 87, 90syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( C  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  ^o  y
) )
9291adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( C  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) )
9392eleq2d 2351 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x
)  <->  ( C  ^o  A )  e.  U_ y  e.  x  ( C  ^o  y ) ) )
9484, 93sylibrd 227 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y
) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x
) ) )
9594ex 425 . . . . 5  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) ) ) )
9695a2d 25 . . . 4  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  (
( C  e.  ( On  \  2o )  ->  A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  y ) ) )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x ) ) ) )
9764, 96syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  y ) ) )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  x
) ) ) )
983, 6, 9, 12, 34, 60, 97tfindsg2 4651 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( C  e.  ( On  \  2o )  ->  ( C  ^o  A )  e.  ( C  ^o  B ) ) )
9998impancom 429 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  ( On  \  2o ) )  -> 
( A  e.  B  ->  ( C  ^o  A
)  e.  ( C  ^o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    \ cdif 3150   (/)c0 3456   U_ciun 3906   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393  (class class class)co 5819   1oc1o 6467   2oc2o 6468    .o comu 6472    ^o coe 6473
This theorem is referenced by:  oeord  6581  oecan  6582  oeworde  6586  oelimcl  6593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-oexp 6480
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