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Theorem oeordsuc 6608
Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oeordsuc  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc
StepHypRef Expression
1 onelon 4433 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21ex 423 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
4 oewordri 6606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
543adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C ) 
C_  ( B  ^o  C ) ) )
6 oecl 6552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
763adant2 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C )  e.  On )
8 oecl 6552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C
)  e.  On )
983adant1 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C )  e.  On )
10 simp1 955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 omwordri 6586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  ( B  ^o  C )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
127, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
135, 12syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
14 oesuc 6542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
15143adant2 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
1615sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A ) ) )
1713, 16sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
18 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
19 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
2018, 19syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (/)  e.  B ) )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  B )
)
22 oen0 6600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
2421, 23syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
25 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  B  e.  On )
2625, 8jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On ) )
27 omordi 6580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2826, 27sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3029com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3124, 30mpdd 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
32313adant1 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
33 oesuc 6542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
34333adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
3534eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( B  ^o  suc  C )  <-> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
3632, 35sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
3717, 36jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
38373expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
39 sucelon 4624 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  On  <->  suc  C  e.  On )
40 oecl 6552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  On )
41 oecl 6552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  e.  On )
42 ontr2 4455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ^o  suc  C )  e.  On  /\  ( B  ^o  suc  C
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4340, 41, 42syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
suc  C  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4443anandirs 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  suc  C  e.  On )  ->  (
( ( A  ^o  suc  C )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  /\  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C
) )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4539, 44sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4638, 45syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4746exp31 587 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4847com4l 78 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4948imp 418 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
503, 49mpdd 36 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   (/)c0 3468   Oncon0 4408   suc csuc 4410  (class class class)co 5874    .o comu 6493    ^o coe 6494
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-oexp 6501
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