MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeordsuc Unicode version

Theorem oeordsuc 6525
Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oeordsuc  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc
StepHypRef Expression
1 onelon 4354 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21ex 425 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
32adantr 453 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
4 oewordri 6523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
543adant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C ) 
C_  ( B  ^o  C ) ) )
6 oecl 6469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
763adant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C )  e.  On )
8 oecl 6469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C
)  e.  On )
983adant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C )  e.  On )
10 simp1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 omwordri 6503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  ( B  ^o  C )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
127, 9, 10, 11syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
135, 12syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
14 oesuc 6459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
15143adant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
1615sseq1d 3147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A ) ) )
1713, 16sylibrd 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
18 ne0i 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
19 on0eln0 4384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
2018, 19syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (/)  e.  B ) )
2120adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  B )
)
22 oen0 6517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )
2322ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
2421, 23syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
25 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  B  e.  On )
2625, 8jca 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On ) )
27 omordi 6497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2826, 27sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2928ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3029com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3124, 30mpdd 38 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
32313adant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
33 oesuc 6459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
34333adant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
3534eleq2d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( B  ^o  suc  C )  <-> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
3632, 35sylibrd 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
3717, 36jcad 521 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
38373expa 1156 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
39 sucelon 4545 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  On  <->  suc  C  e.  On )
40 oecl 6469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  On )
41 oecl 6469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  e.  On )
42 ontr2 4376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ^o  suc  C )  e.  On  /\  ( B  ^o  suc  C
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4340, 41, 42syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
suc  C  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4443anandirs 807 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  suc  C  e.  On )  ->  (
( ( A  ^o  suc  C )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  /\  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C
) )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4539, 44sylan2b 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4638, 45syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4746exp31 590 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4847com4l 80 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4948imp 420 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
503, 49mpdd 38 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    C_ wss 3094   (/)c0 3397   Oncon0 4329   suc csuc 4331  (class class class)co 5757    .o comu 6410    ^o coe 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-oexp 6418
  Copyright terms: Public domain W3C validator