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Theorem oeordsuc 6592
Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oeordsuc  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )

Proof of Theorem oeordsuc
StepHypRef Expression
1 onelon 4417 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21ex 423 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
4 oewordri 6590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
543adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C ) 
C_  ( B  ^o  C ) ) )
6 oecl 6536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C
)  e.  On )
763adant2 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  C )  e.  On )
8 oecl 6536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C
)  e.  On )
983adant1 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  C )  e.  On )
10 simp1 955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  A  e.  On )
11 omwordri 6570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ^o  C
)  e.  On  /\  ( B  ^o  C )  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
127, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C )  ->  (
( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
135, 12syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  C
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
14 oesuc 6526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
15143adant2 974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  =  ( ( A  ^o  C )  .o  A ) )
1615sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  <->  ( ( A  ^o  C )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A ) ) )
1713, 16sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A ) ) )
18 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
19 on0eln0 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
2018, 19syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (/)  e.  B ) )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  B )
)
22 oen0 6584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
2421, 23syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  -> 
(/)  e.  ( B  ^o  C ) ) )
25 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  B  e.  On )
2625, 8jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On ) )
27 omordi 6564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( B  ^o  C
)  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2826, 27sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  ( B  ^o  C ) )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C
)  .o  B ) ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3029com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( (/)  e.  ( B  ^o  C )  -> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) ) )
3124, 30mpdd 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
32313adant1 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
33 oesuc 6526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
34333adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  =  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) )
3534eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( B  ^o  suc  C )  <-> 
( ( B  ^o  C )  .o  A
)  e.  ( ( B  ^o  C )  .o  B ) ) )
3632, 35sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
3717, 36jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C )  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
38373expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
39 sucelon 4608 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  On  <->  suc  C  e.  On )
40 oecl 6536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  On )
41 oecl 6536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  C )  e.  On )
42 ontr2 4439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ^o  suc  C )  e.  On  /\  ( B  ^o  suc  C
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4340, 41, 42syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
suc  C  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  suc  C  e.  On ) )  -> 
( ( ( A  ^o  suc  C ) 
C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4443anandirs 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  suc  C  e.  On )  ->  (
( ( A  ^o  suc  C )  C_  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  /\  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C
) )  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4539, 44sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( ( ( A  ^o  suc  C
)  C_  ( ( B  ^o  C )  .o  A )  /\  (
( B  ^o  C
)  .o  A )  e.  ( B  ^o  suc  C ) )  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4638, 45syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
4746exp31 587 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4847com4l 78 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) ) )
4948imp 418 . 2  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) ) )
503, 49mpdd 36 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  suc  C )  e.  ( B  ^o  suc  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   (/)c0 3455   Oncon0 4392   suc csuc 4394  (class class class)co 5858    .o comu 6477    ^o coe 6478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485
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