Theorem oesuc 4163

Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oesuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Proof of Theorem oesuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3965	. . . 4 |- (A = (/) -> (A ^o suc B) = ((/) ^o suc B))
2		oe0m1 4157	. . . . . 6 |- (suc B e. On -> ((/) e. suc B <-> ((/) ^o suc B) = (/)))
3	2	biimpa 416	. . . . 5 |- ((suc B e. On /\ (/) e. suc B) -> ((/) ^o suc B) = (/))
4		suceloni 3059	. . . . 5 |- (B e. On -> suc B e. On)
5		eloni 2955	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
6		0elsuc 3089	. . . . . 6 |- (Ord B -> (/) e. suc B)
7	5, 6	syl 10	. . . . 5 |- (B e. On -> (/) e. suc B)
8	3, 4, 7	sylanc 471	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) ^o suc B) = (/))
9	1, 8	sylan9eqr 1528	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = (/))
10		opreq1 3965	. . . . 5 |- (A = (/) -> (A ^o B) = ((/) ^o B))
11		id 59	. . . . 5 |- (A = (/) -> A = (/))
12	10, 11	opreq12d 3975	. . . 4 |- (A = (/) -> ((A ^o B) .o A) = (((/) ^o B) .o (/)))
13		opreq2 3966	. . . . . . . . 9 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) = ((/) ^o (/)))
14		oe0m0 4156	. . . . . . . . . 10 |- ((/) ^o (/)) = 1o
15		1on 4135	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. On
16	14, 15	eqeltr 1543	. . . . . . . . 9 |- ((/) ^o (/)) e. On
17	13, 16	syl6eqel 1555	. . . . . . . 8 |- (B = (/) -> ((/) ^o B) e. On)
18	17	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((B e. On /\ B = (/)) -> ((/) ^o B) e. On)
19		oe0m1 4157	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> ((/) ^o B) = (/)))
20	19	biimpa 416	. . . . . . . . 9 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) = (/))
21		0elon 3019	. . . . . . . . 9 |- (/) e. On
22	20, 21	syl6eqel 1555	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
23	22	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((B e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> ((/) ^o B) e. On)
24	18, 23	oe0lem 4149	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ B e. On) -> ((/) ^o B) e. On)
25	24	anidms 434	. . . . 5 |- (B e. On -> ((/) ^o B) e. On)
26		om0 4153	. . . . 5 |- (((/) ^o B) e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
27	25, 26	syl 10	. . . 4 |- (B e. On -> (((/) ^o B) .o (/)) = (/))
28	12, 27	sylan9eqr 1528	. . 3 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> ((A ^o B) .o A) = (/))
29	9, 28	eqtr4d 1509	. 2 |- ((B e. On /\ A = (/)) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
30		rdgsuct 3942	. . . 4 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
31	30	ad2antlr 405	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
32		oevn0 4151	. . . 4 |- (((A e. On /\ suc B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
33	32, 4	sylanl2 461	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` suc B))
34		oevn0 4151	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
35	34	fveq2d 3725	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
36		oprex 3980	. . . . 5 |- (A ^o B) e. V
37		oprex 3980	. . . . 5 |- ((A ^o B) .o A) e. V
38		opreq1 3965	. . . . 5 |- (x = (A ^o B) -> (x .o A) = ((A ^o B) .o A))
39	36, 37, 38	fvopab 3787	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (A ^o B)) = ((A ^o B) .o A)
40	35, 39	syl5eqr 1520	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> ((A ^o B) .o A) = ({<.x, y>. | y = (x .o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
41	31, 33, 40	3eqtr4d 1516	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))
42	29, 41	oe0lem 4149	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o suc B) = ((A ^o B) .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  (/)c0 2278  {copab 2663  Ord word 2944  Oncon0 2945  suc csuc 2947  ` cfv 3179  reccrdg 3928  (class class class)co 3960  1oc1o 4125   .o comu 4128   ^o coe 4129

This theorem is referenced by:  oecl 4169  oe1 4175  oe1m 4176  oen0 4210  oeordi 4211  oewordri 4216  oeordsuc 4218  nnecl 4228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1o 4130  df-omul 4133  df-oexp 4134

Copyright terms: Public domain