Theorem oev 4137

Description: Value of ordinal exponentiation.

Assertion

Ref	Expression
oev	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o B) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem oev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 4122	. . . 4 |- 1o e. On
2		difexg 2712	. . . 4 |- (1o e. On -> (1o \ B) e. V)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- (1o \ B) e. V
4		fvex 3717	. . 3 |- (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B) e. V
5	3, 4	ifex 2390	. 2 |- if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)) e. V
6		eqeq1 1473	. . . 4 |- (w = A -> (w = (/) <-> A = (/)))
7	6	ifbid 2362	. . 3 |- (w = A -> if(w = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o)` v)) = if(A = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o)` v)))
8		opreq2 3954	. . . . . . 7 |- (w = A -> (x .o w) = (x .o A))
9	8	eqeq2d 1478	. . . . . 6 |- (w = A -> (y = (x .o w) <-> y = (x .o A)))
10	9	opabbidv 2660	. . . . 5 |- (w = A -> {<.x, y>. | y = (x .o w)} = {<.x, y>. | y = (x .o A)})
11		rdgeq1 3919	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | y = (x .o w)} = {<.x, y>. | y = (x .o A)} -> rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o) = rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o))
12		fveq1 3708	. . . . 5 |- (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o) = rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o) -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o)` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v))
13	10, 11, 12	3syl 20	. . . 4 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o)` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v))
14	13	ifeq2d 2360	. . 3 |- (w = A -> if(A = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o)` v)) = if(A = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v)))
15	7, 14	eqtrd 1499	. 2 |- (w = A -> if(w = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o)` v)) = if(A = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v)))
16		difeq2 2144	. . . 4 |- (v = B -> (1o \ v) = (1o \ B))
17	16	ifeq1d 2359	. . 3 |- (v = B -> if(A = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v)) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v)))
18		fveq2 3709	. . . 4 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
19	18	ifeq2d 2360	. . 3 |- (v = B -> if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v)) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
20	17, 19	eqtrd 1499	. 2 |- (v = B -> if(A = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` v)) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
21		df-oexp 4121	. 2 |- ^o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = if(w = (/), (1o \ v), (rec({<.x, y>. | y = (x .o w)}, 1o)` v)))}
22	5, 15, 20, 21	oprabval2 4013	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o B) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   \ cdif 2034  (/)c0 2270  ifcif 2351  {copab 2656  Oncon0 2938  ` cfv 3172  reccrdg 3916  (class class class)co 3948  1oc1o 4112   .o comu 4115   ^o coe 4116

This theorem is referenced by:  oevn0 4138  oe0m 4141

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-oexp 4121

Copyright terms: Public domain