Theorem oevn0 4147

Description: Value of ordinal exponentiation at a nonzero mantissa.

Assertion

Ref	Expression
oevn0	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem oevn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on0eln0 3020	. . . . 5 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
2		df-ne 1585	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
3	1, 2	syl6bb 535	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
4	3	adantr 389	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A <-> -. A = (/)))
5		oev 4146	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A ^o B) = if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
6		iffalse 2364	. . . . 5 |- (-. A = (/) -> if(A = (/), (1o \ B), (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
7	5, 6	sylan9eq 1525	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ -. A = (/)) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))
8	7	ex 373	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (-. A = (/) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
9	4, 8	sylbid 203	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B)))
10	9	imp 350	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. A) -> (A ^o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x .o A)}, 1o)` B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583   \ cdif 2041  (/)c0 2277  ifcif 2358  {copab 2662  Oncon0 2944  ` cfv 3178  reccrdg 3926  (class class class)co 3958  1oc1o 4121   .o comu 4124   ^o coe 4125

This theorem is referenced by:  oe0 4154  oev2 4155  oesuc 4159  oelim 4162

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-suc 2950  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1o 4126  df-oexp 4130

Copyright terms: Public domain