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Theorem oewordri 6585
Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oewordri  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem oewordri
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
2 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3208 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x ) 
C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) ) )
4 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
5 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  y
) )
64, 5sseq12d 3208 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y ) ) )
7 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
8 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  ^o  x
)  =  ( B  ^o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3208 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y
) ) )
10 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  C
) )
11 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( B  ^o  x )  =  ( B  ^o  C
) )
1210, 11sseq12d 3208 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  ( A  ^o  C )  C_  ( B  ^o  C ) ) )
13 onelon 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
14 oe0 6516 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
16 oe0 6516 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  ^o  (/) )  =  1o )
1716adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( B  ^o  (/) )  =  1o )
1815, 17eqtr4d 2319 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  =  ( B  ^o  (/) ) )
19 eqimss 3231 . . . . 5  |-  ( ( A  ^o  (/) )  =  ( B  ^o  (/) )  -> 
( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) )
2018, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  (/) )  C_  ( B  ^o  (/) ) )
21 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  On )
22 onelss 4433 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
2322imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
2413, 21, 23jca31 522 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B ) )
25 oecl 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y
)  e.  On )
26253adant2 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  y )  e.  On )
27 oecl 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  y
)  e.  On )
28273adant1 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  y )  e.  On )
29 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
30 omwordri 6565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  On  /\  ( B  ^o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( ( A  ^o  y )  .o  A
)  C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) ) )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  (
( A  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) ) )
3231imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) )  -> 
( ( A  ^o  y )  .o  A
)  C_  ( ( B  ^o  y )  .o  A ) )
3332adantrl 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) )
34 omwordi 6564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( B  ^o  y )  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) ) )
3528, 34syld3an3 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  (
( B  ^o  y
)  .o  A ) 
C_  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) ) )
3635imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( B  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
3736adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( B  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
3833, 37sstrd 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A )  C_  (
( B  ^o  y
)  .o  B ) )
39 oesuc 6521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
40393adant2 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y )  .o  A ) )
4140adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
42 oesuc 6521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y
)  .o  B ) )
43423adant1 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y )  .o  B ) )
4443adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( B  ^o  suc  y )  =  ( ( B  ^o  y
)  .o  B ) )
4538, 41, 443sstr4d 3222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y ) ) )  ->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y ) )
4645exp520 1174 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) ) ) )
4746com3r 75 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) ) ) )
4847imp4c 576 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  suc  y ) 
C_  ( B  ^o  suc  y ) ) ) )
4924, 48syl5 30 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y
)  ->  ( A  ^o  suc  y )  C_  ( B  ^o  suc  y
) ) ) )
5013ancri 537 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) ) )
51 vex 2792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
52 limelon 4454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5351, 52mpan 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
54 0ellim 4453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
55 oe0m1 6515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) ) )
5655biimpa 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  (/) 
e.  x )  -> 
( (/)  ^o  x )  =  (/) )
5753, 54, 56syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  ^o  x
)  =  (/) )
58 0ss 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  ( B  ^o  x )
5958a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  (/)  C_  ( B  ^o  x ) )
6057, 59eqsstrd 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) )
61 oveq1 5826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( (/)  ^o  x
) )
6261sseq1d 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x ) 
C_  ( B  ^o  x )  <->  ( (/)  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6360, 62syl5ibr 214 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6463adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) )
6564a1dd 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
66 ss2iun 3921 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
67 oelim 6528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
6851, 67mpanlr1 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( A  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y ) )
6968an32s 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  (/)  e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
7069adantllr 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  ^o  y
) )
7121anim1i 553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  ( B  e.  On  /\  Lim  x
) )
72 ne0i 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
73 on0eln0 4446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
7472, 73syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (/)  e.  B ) )
7574imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  -> 
(/)  e.  B )
7675adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  (/)  e.  B )
77 oelim 6528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
7851, 77mpanlr1 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( B  ^o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
7971, 76, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
8079adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) )
8180adantlll 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( B  ^o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( B  ^o  y
) )
8270, 81sseq12d 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  (
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x )  <->  U_ y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  ^o  y ) ) )
8366, 82syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x
) ) )
8483ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8565, 84oe0lem 6507 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8685com12 29 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  A  e.  B ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( A  ^o  y )  C_  ( B  ^o  y )  -> 
( A  ^o  x
)  C_  ( B  ^o  x ) ) ) )
8750, 86syl5 30 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  ^o  y
)  C_  ( B  ^o  y )  ->  ( A  ^o  x )  C_  ( B  ^o  x
) ) ) )
883, 6, 9, 12, 20, 49, 87tfinds3 4654 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  ( A  ^o  C )  C_  ( B  ^o  C ) ) )
8988exp3a 427 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  -> 
( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) ) )
9089impcom 421 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  ^o  C
)  C_  ( B  ^o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   U_ciun 3906   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393  (class class class)co 5819   1oc1o 6467    .o comu 6472    ^o coe 6473
This theorem is referenced by:  oeordsuc  6587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-oexp 6480
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