Theorem om0 4149

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
om0	|- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Proof of Theorem om0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3018	. . 3 |- (/) e. On
2		omv 4144	. . 3 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
3	1, 2	mpan2 695	. 2 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
4		0ex 2707	. . 3 |- (/) e. V
5	4	rdg0 3936	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)) = (/)
6	3, 5	syl6eq 1521	1 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  (/)c0 2277  {copab 2662  Oncon0 2944  ` cfv 3178  reccrdg 3926  (class class class)co 3958   +o coa 4123   .o comu 4124

This theorem is referenced by:  om0x 4151  oesuc 4159  omcl 4164  om0r 4167  om1 4169  om1r 4170  omwordri 4196  om00 4199  odi 4203  omass 4204  oen0 4206  nnm0 4217  nneob 4248

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-omul 4129

Copyright terms: Public domain