MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0 Unicode version

Theorem om0 6511
Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
om0  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )

Proof of Theorem om0
StepHypRef Expression
1 0elon 4444 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 omv 6506 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  On )  -> 
( A  .o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +o  A ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
31, 2mpan2 655 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +o  A ) ) ,  (/) ) `  (/) ) )
4 0ex 4151 . . 3  |-  (/)  e.  _V
54rdg0 6429 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  +o  A ) ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
63, 5syl6eq 2332 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1628    e. wcel 1688   _Vcvv 2789   (/)c0 3456    e. cmpt 4078   Oncon0 4391   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   reccrdg 6417    +o coa 6471    .o comu 6472
This theorem is referenced by:  om0x  6513  oesuclem  6519  omcl  6530  om1  6535  omwordri  6565  om00  6568  odi  6572  omass  6573  oen0  6579  oeoa  6590  oeoelem  6591  oeeui  6595  nnm0  6598  cantnfle  7367  cantnfp1  7378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-omul 6479
  Copyright terms: Public domain W3C validator