Theorem om00el 4213

Description: The product of two nonzero ordinal numbers is nonzero.

Assertion

Ref	Expression
om00el	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> ((/) e. A /\ (/) e. B)))

Proof of Theorem om00el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om00 4212	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) = (/) <-> (A = (/) \/ B = (/))))
2	1	necon3abid 1602	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) =/= (/) <-> -. (A = (/) \/ B = (/))))
3		omcl 4177	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)
4		on0eln0 3030	. . 3 |- ((A .o B) e. On -> ((/) e. (A .o B) <-> (A .o B) =/= (/)))
5	3, 4	syl 10	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> (A .o B) =/= (/)))
6		on0eln0 3030	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
7		on0eln0 3030	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> B =/= (/)))
8	6, 7	bi2anan9 634	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) e. A /\ (/) e. B) <-> (A =/= (/) /\ B =/= (/))))
9		neanior 1642	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ B =/= (/)) <-> -. (A = (/) \/ B = (/)))
10	8, 9	syl6bb 538	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) e. A /\ (/) e. B) <-> -. (A = (/) \/ B = (/))))
11	2, 5, 10	3bitr4d 552	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> ((/) e. A /\ (/) e. B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (/)c0 2283  Oncon0 2954  (class class class)co 3969   .o comu 4137

This theorem is referenced by:  odi 4216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142

Copyright terms: Public domain