Theorem om0r 4310

Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
om0r	|- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))

Proof of Theorem om0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . 3 |- (x = (/) -> ((/) .o x) = ((/) .o (/)))
2	1	eqeq1d 1526	. 2 |- (x = (/) -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o (/)) = (/)))
3		opreq2 4027	. . 3 |- (x = y -> ((/) .o x) = ((/) .o y))
4	3	eqeq1d 1526	. 2 |- (x = y -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o y) = (/)))
5		opreq2 4027	. . 3 |- (x = suc y -> ((/) .o x) = ((/) .o suc y))
6	5	eqeq1d 1526	. 2 |- (x = suc y -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o suc y) = (/)))
7		opreq2 4027	. . 3 |- (x = A -> ((/) .o x) = ((/) .o A))
8	7	eqeq1d 1526	. 2 |- (x = A -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o A) = (/)))
9		0elon 3026	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 4292	. . 3 |- ((/) e. On -> ((/) .o (/)) = (/))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 |- ((/) .o (/)) = (/)
12		omsuc 4301	. . . . 5 |- (((/) e. On /\ y e. On) -> ((/) .o suc y) = (((/) .o y) +o (/)))
13	9, 12	mpan 699	. . . 4 |- (y e. On -> ((/) .o suc y) = (((/) .o y) +o (/)))
14		oa0 4291	. . . . . . 7 |- ((/) e. On -> ((/) +o (/)) = (/))
15	9, 14	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((/) +o (/)) = (/)
16	15	eqcomi 1522	. . . . 5 |- (/) = ((/) +o (/))
17	16	a1i 8	. . . 4 |- (y e. On -> (/) = ((/) +o (/)))
18	13, 17	eqeq12d 1532	. . 3 |- (y e. On -> (((/) .o suc y) = (/) <-> (((/) .o y) +o (/)) = ((/) +o (/))))
19		opreq1 4026	. . 3 |- (((/) .o y) = (/) -> (((/) .o y) +o (/)) = ((/) +o (/)))
20	18, 19	syl5bir 208	. 2 |- (y e. On -> (((/) .o y) = (/) -> ((/) .o suc y) = (/)))
21		visset 1859	. . . . 5 |- x e. V
22		omlim 4304	. . . . . 6 |- (((/) e. On /\ (x e. V /\ Lim x)) -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
23	9, 22	mpan 699	. . . . 5 |- ((x e. V /\ Lim x) -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
24	21, 23	mpan 699	. . . 4 |- (Lim x -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
25	24	eqeq1d 1526	. . 3 |- (Lim x -> (((/) .o x) = (/) <-> U_y e. x ((/) .o y) = (/)))
26		iuneq2 2646	. . . 4 |- (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> U_y e. x ((/) .o y) = U_y e. x (/))
27		iun0 2672	. . . 4 |- U_y e. x (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 1566	. . 3 |- (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> U_y e. x ((/) .o y) = (/))
29	25, 28	syl5bir 208	. 2 |- (Lim x -> (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> ((/) .o x) = (/)))
30	2, 4, 6, 8, 11, 20, 29	tfinds 3212	1 |- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691  Vcvv 1857  (/)c0 2332  U_ciun 2633  Oncon0 2975  Lim wlim 2976  suc csuc 2977  (class class class)co 4021   +o coa 4266   .o comu 4267

This theorem is referenced by:  omord 4335  omwordi 4338  om00 4342  odi 4346  omass 4347  oeoa 4360  nnm0r 4368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-oadd 4271  df-omul 4272

Copyright terms: Public domain