MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0r Unicode version

Theorem om0r 6721
Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om0r  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )

Proof of Theorem om0r
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6030 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  .o  x )  =  (
(/)  .o  (/) ) )
21eqeq1d 2397 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
(/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  (/) )  =  (/) ) )
3 oveq2 6030 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  y
) )
43eqeq1d 2397 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  y
)  =  (/) ) )
5 oveq2 6030 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  .o  x )  =  ( (/)  .o  suc  y ) )
65eqeq1d 2397 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( (/)  .o  x
)  =  (/)  <->  ( (/)  .o  suc  y )  =  (/) ) )
7 oveq2 6030 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  A
) )
87eqeq1d 2397 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  A
)  =  (/) ) )
9 om0x 6701 . 2  |-  ( (/)  .o  (/) )  =  (/)
10 oveq1 6029 . . 3  |-  ( (
(/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  ( (/) 
+o  (/) ) )
11 0elon 4577 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
12 omsuc 6708 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
1311, 12mpan 652 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
14 oa0 6698 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  +o  (/) )  =  (/) )
1511, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  +o  (/) )  =  (/)
1615eqcomi 2393 . . . . 5  |-  (/)  =  (
(/)  +o  (/) )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (/)  =  (
(/)  +o  (/) ) )
1813, 17eqeq12d 2403 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( (/)  .o  suc  y
)  =  (/)  <->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  ( (/) 
+o  (/) ) ) )
1910, 18syl5ibr 213 . 2  |-  ( y  e.  On  ->  (
( (/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( (/)  .o 
suc  y )  =  (/) ) )
20 iuneq2 4053 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  U_ y  e.  x  (/) )
21 iun0 4090 . . . 4  |-  U_ y  e.  x  (/)  =  (/)
2220, 21syl6eq 2437 . . 3  |-  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  (/) )
23 vex 2904 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
24 omlim 6715 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  -> 
( (/)  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y
) )
2511, 24mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( (/) 
.o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y ) )
2623, 25mpan 652 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y
) )
2726eqeq1d 2397 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( ( (/) 
.o  x )  =  (/) 
<-> 
U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  (/) ) )
2822, 27syl5ibr 213 . 2  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  ( (/)  .o  x
)  =  (/) ) )
292, 4, 6, 8, 9, 19, 28tfinds 4781 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901   (/)c0 3573   U_ciun 4037   Oncon0 4524   Lim wlim 4525   suc csuc 4526  (class class class)co 6022    +o coa 6659    .o comu 6660
This theorem is referenced by:  omord  6749  omwordi  6752  om00  6756  odi  6760  omass  6761  oeoa  6778  omxpenlem  7147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-oadd 6666  df-omul 6667
  Copyright terms: Public domain W3C validator