MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0r Unicode version

Theorem om0r 6750
Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om0r  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )

Proof of Theorem om0r
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6056 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  .o  x )  =  (
(/)  .o  (/) ) )
21eqeq1d 2420 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
(/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  (/) )  =  (/) ) )
3 oveq2 6056 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  y
) )
43eqeq1d 2420 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  y
)  =  (/) ) )
5 oveq2 6056 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  .o  x )  =  ( (/)  .o  suc  y ) )
65eqeq1d 2420 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( (/)  .o  x
)  =  (/)  <->  ( (/)  .o  suc  y )  =  (/) ) )
7 oveq2 6056 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  A
) )
87eqeq1d 2420 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  A
)  =  (/) ) )
9 om0x 6730 . 2  |-  ( (/)  .o  (/) )  =  (/)
10 oveq1 6055 . . 3  |-  ( (
(/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  ( (/) 
+o  (/) ) )
11 0elon 4602 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
12 omsuc 6737 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
1311, 12mpan 652 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
14 oa0 6727 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  +o  (/) )  =  (/) )
1511, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( (/)  +o  (/) )  =  (/)
1615eqcomi 2416 . . . . 5  |-  (/)  =  (
(/)  +o  (/) )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (/)  =  (
(/)  +o  (/) ) )
1813, 17eqeq12d 2426 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( (/)  .o  suc  y
)  =  (/)  <->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  ( (/) 
+o  (/) ) ) )
1910, 18syl5ibr 213 . 2  |-  ( y  e.  On  ->  (
( (/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( (/)  .o 
suc  y )  =  (/) ) )
20 iuneq2 4077 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  U_ y  e.  x  (/) )
21 iun0 4115 . . . 4  |-  U_ y  e.  x  (/)  =  (/)
2220, 21syl6eq 2460 . . 3  |-  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  (/) )
23 vex 2927 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
24 omlim 6744 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  (
x  e.  _V  /\  Lim  x ) )  -> 
( (/)  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y
) )
2511, 24mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( (/) 
.o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y ) )
2623, 25mpan 652 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( (/)  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y
) )
2726eqeq1d 2420 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( ( (/) 
.o  x )  =  (/) 
<-> 
U_ y  e.  x  ( (/)  .o  y )  =  (/) ) )
2822, 27syl5ibr 213 . 2  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( (/) 
.o  y )  =  (/)  ->  ( (/)  .o  x
)  =  (/) ) )
292, 4, 6, 8, 9, 19, 28tfinds 4806 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   U_ciun 4061   Oncon0 4549   Lim wlim 4550   suc csuc 4551  (class class class)co 6048    +o coa 6688    .o comu 6689
This theorem is referenced by:  omord  6778  omwordi  6781  om00  6785  odi  6789  omass  6790  oeoa  6807  omxpenlem  7176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-oadd 6695  df-omul 6696
  Copyright terms: Public domain W3C validator