MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1 Unicode version

Theorem om1 6473
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
om1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  A )

Proof of Theorem om1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6412 . . . 4  |-  1o  =  suc  (/)
21oveq2i 5768 . . 3  |-  ( A  .o  1o )  =  ( A  .o  suc  (/) )
3 peano1 4612 . . . 4  |-  (/)  e.  om
4 onmsuc 6461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
53, 4mpan2 655 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
62, 5syl5eq 2300 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
7 om0 6449 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
87oveq1d 5772 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  A )  =  (
(/)  +o  A )
)
9 oa0r 6470 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
+o  A )  =  A )
106, 8, 93eqtrd 2292 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3397   Oncon0 4329   suc csuc 4331   omcom 4593  (class class class)co 5757   1oc1o 6405    +o coa 6409    .o comu 6410
This theorem is referenced by:  oe1m  6476  omword1  6504  oeordi  6518  oeoalem  6527  oeoa  6528  oeeui  6533  oaabs2  6576  infxpenc  7578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417
  Copyright terms: Public domain W3C validator