Theorem om1 4312

Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
om1	|- (A e. On -> (A .o 1o) = A)

Proof of Theorem om1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3026	. . . 4 |- (/) e. On
2		omsuc 4301	. . . 4 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A .o suc (/)) = ((A .o (/)) +o A))
3	1, 2	mpan2 700	. . 3 |- (A e. On -> (A .o suc (/)) = ((A .o (/)) +o A))
4		df-1o 4269	. . . 4 |- 1o = suc (/)
5	4	opreq2i 4030	. . 3 |- (A .o 1o) = (A .o suc (/))
6	3, 5	syl5eq 1562	. 2 |- (A e. On -> (A .o 1o) = ((A .o (/)) +o A))
7		om0 4292	. . 3 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))
8	7	opreq1d 4033	. 2 |- (A e. On -> ((A .o (/)) +o A) = ((/) +o A))
9		oa0r 4309	. 2 |- (A e. On -> ((/) +o A) = A)
10	6, 8, 9	3eqtrd 1554	1 |- (A e. On -> (A .o 1o) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 992   e. wcel 994  (/)c0 2332  Oncon0 2975  suc csuc 2977  (class class class)co 4021  1oc1o 4264   +o coa 4266   .o comu 4267

This theorem is referenced by:  oe1m 4315  omword1 4340  oeordi 4350  oeoalem 4359  oeoa 4360  nneob 4395  mulidpi 5168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272

Copyright terms: Public domain