MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1 Unicode version

Theorem om1 6744
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
om1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  A )

Proof of Theorem om1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6683 . . . 4  |-  1o  =  suc  (/)
21oveq2i 6051 . . 3  |-  ( A  .o  1o )  =  ( A  .o  suc  (/) )
3 peano1 4823 . . . 4  |-  (/)  e.  om
4 onmsuc 6732 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
53, 4mpan2 653 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
62, 5syl5eq 2448 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
7 om0 6720 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
87oveq1d 6055 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  A )  =  (
(/)  +o  A )
)
9 oa0r 6741 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
+o  A )  =  A )
106, 8, 93eqtrd 2440 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3588   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    +o coa 6680    .o comu 6681
This theorem is referenced by:  oe1m  6747  omword1  6775  oeordi  6789  oeoalem  6798  oeoa  6799  oeeui  6804  oaabs2  6847  infxpenc  7855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688
  Copyright terms: Public domain W3C validator