MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1 Unicode version

Theorem om1 6682
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
om1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  A )

Proof of Theorem om1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6621 . . . 4  |-  1o  =  suc  (/)
21oveq2i 5992 . . 3  |-  ( A  .o  1o )  =  ( A  .o  suc  (/) )
3 peano1 4778 . . . 4  |-  (/)  e.  om
4 onmsuc 6670 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
53, 4mpan2 652 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
62, 5syl5eq 2410 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
7 om0 6658 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
87oveq1d 5996 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  A )  =  (
(/)  +o  A )
)
9 oa0r 6679 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
+o  A )  =  A )
106, 8, 93eqtrd 2402 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  1o )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   (/)c0 3543   Oncon0 4495   suc csuc 4497   omcom 4759  (class class class)co 5981   1oc1o 6614    +o coa 6618    .o comu 6619
This theorem is referenced by:  oe1m  6685  omword1  6713  oeordi  6727  oeoalem  6736  oeoa  6737  oeeui  6742  oaabs2  6785  infxpenc  7792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-omul 6626
  Copyright terms: Public domain W3C validator