MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1elbas Structured version   Unicode version

Theorem om1elbas 19095
Description: Elementhood in the base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
om1bas.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
om1bas.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
om1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
om1elbas  |-  ( ph  ->  ( F  e.  B  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )

Proof of Theorem om1elbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om1bas.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
2 om1bas.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 om1bas.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 om1bas.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
51, 2, 3, 4om1bas 19094 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
65eleq2d 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  B  <->  F  e.  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } ) )
7 fveq1 5762 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
87eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  0
)  =  Y  <->  ( F `  0 )  =  Y ) )
9 fveq1 5762 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
109eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  1
)  =  Y  <->  ( F `  1 )  =  Y ) )
118, 10anbi12d 693 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  Y  /\  ( f ` 
1 )  =  Y )  <->  ( ( F `
 0 )  =  Y  /\  ( F `
 1 )  =  Y ) ) )
1211elrab 3101 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) }  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
13 3anass 941 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y )  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
1412, 13bitr4i 245 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) }  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `
 1 )  =  Y ) )
156, 14syl6bb 254 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  B  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   {crab 2716   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   0cc0 9028   1c1 9029   Basecbs 13507  TopOnctopon 16997    Cn ccn 17326   IIcii 18943    Om 1 comi 19064
This theorem is referenced by:  om1addcl  19096  pi1blem  19102  pi1eluni  19105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-oadd 6764  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fz 11082  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-plusg 13580  df-tset 13586  df-topon 17004  df-om1 19069
  Copyright terms: Public domain W3C validator