Theorem om1r 4161

Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
om1r	|- (A e. On -> (1o .o A) = A)

Proof of Theorem om1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3954	. . 3 |- (x = (/) -> (1o .o x) = (1o .o (/)))
2		id 59	. . 3 |- (x = (/) -> x = (/))
3	1, 2	eqeq12d 1481	. 2 |- (x = (/) -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o (/)) = (/)))
4		opreq2 3954	. . 3 |- (x = y -> (1o .o x) = (1o .o y))
5		id 59	. . 3 |- (x = y -> x = y)
6	4, 5	eqeq12d 1481	. 2 |- (x = y -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o y) = y))
7		opreq2 3954	. . 3 |- (x = suc y -> (1o .o x) = (1o .o suc y))
8		id 59	. . 3 |- (x = suc y -> x = suc y)
9	7, 8	eqeq12d 1481	. 2 |- (x = suc y -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o suc y) = suc y))
10		opreq2 3954	. . 3 |- (x = A -> (1o .o x) = (1o .o A))
11		id 59	. . 3 |- (x = A -> x = A)
12	10, 11	eqeq12d 1481	. 2 |- (x = A -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o A) = A))
13		1on 4122	. . 3 |- 1o e. On
14		om0 4140	. . 3 |- (1o e. On -> (1o .o (/)) = (/))
15	13, 14	ax-mp 7	. 2 |- (1o .o (/)) = (/)
16		omsuc 4149	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ y e. On) -> (1o .o suc y) = ((1o .o y) +o 1o))
17	13, 16	mpan 693	. . . . 5 |- (y e. On -> (1o .o suc y) = ((1o .o y) +o 1o))
18		opreq1 3953	. . . . 5 |- ((1o .o y) = y -> ((1o .o y) +o 1o) = (y +o 1o))
19	17, 18	sylan9eq 1519	. . . 4 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (1o .o suc y) = (y +o 1o))
20		oa1suc 4148	. . . . 5 |- (y e. On -> (y +o 1o) = suc y)
21	20	adantr 389	. . . 4 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (y +o 1o) = suc y)
22	19, 21	eqtrd 1499	. . 3 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (1o .o suc y) = suc y)
23	22	ex 373	. 2 |- (y e. On -> ((1o .o y) = y -> (1o .o suc y) = suc y))
24		visset 1804	. . . . 5 |- x e. V
25		omlim 4152	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ (x e. V /\ Lim x)) -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
26	13, 25	mpan 693	. . . . 5 |- ((x e. V /\ Lim x) -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
27	24, 26	mpan 693	. . . 4 |- (Lim x -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
28		limuni 3019	. . . 4 |- (Lim x -> x = U.x)
29	27, 28	eqeq12d 1481	. . 3 |- (Lim x -> ((1o .o x) = x <-> U_y e. x (1o .o y) = U.x))
30		iuneq2 2568	. . . 4 |- (A.y e. x (1o .o y) = y -> U_y e. x (1o .o y) = U_y e. x y)
31		uniiun 2591	. . . 4 |- U.x = U_y e. x y
32	30, 31	syl6eqr 1517	. . 3 |- (A.y e. x (1o .o y) = y -> U_y e. x (1o .o y) = U.x)
33	29, 32	syl5bir 210	. 2 |- (Lim x -> (A.y e. x (1o .o y) = y -> (1o .o x) = x))
34	3, 6, 9, 12, 15, 23, 33	tfinds 3151	1 |- (A e. On -> (1o .o A) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  (/)c0 2270  U.cuni 2493  U_ciun 2556  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  suc csuc 2940  (class class class)co 3948  1oc1o 4112   +o coa 4114   .o comu 4115

This theorem is referenced by:  oe1 4162  omword2 4189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain