MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1r Unicode version

Theorem om1r 6495
Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
om1r  |-  ( A  e.  On  ->  ( 1o  .o  A )  =  A )

Proof of Theorem om1r
StepHypRef Expression
1 oveq2 5786 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 1o 
.o  x )  =  ( 1o  .o  (/) ) )
2 id 21 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
31, 2eqeq12d 2270 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( 1o  .o  x )  =  x  <->  ( 1o  .o  (/) )  =  (/) ) )
4 oveq2 5786 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( 1o  .o  x )  =  ( 1o  .o  y
) )
5 id 21 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
64, 5eqeq12d 2270 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( 1o  .o  x
)  =  x  <->  ( 1o  .o  y )  =  y ) )
7 oveq2 5786 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  .o  x
)  =  ( 1o 
.o  suc  y )
)
8 id 21 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
97, 8eqeq12d 2270 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( 1o  .o  x )  =  x  <-> 
( 1o  .o  suc  y )  =  suc  y ) )
10 oveq2 5786 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( 1o  .o  x )  =  ( 1o  .o  A
) )
11 id 21 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
1210, 11eqeq12d 2270 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( 1o  .o  x
)  =  x  <->  ( 1o  .o  A )  =  A ) )
13 om0x 6472 . 2  |-  ( 1o 
.o  (/) )  =  (/)
14 1on 6440 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
15 omsuc 6479 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( 1o  .o  suc  y )  =  ( ( 1o  .o  y
)  +o  1o ) )
1614, 15mpan 654 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( 1o  .o  suc  y )  =  ( ( 1o 
.o  y )  +o  1o ) )
17 oveq1 5785 . . . . 5  |-  ( ( 1o  .o  y )  =  y  ->  (
( 1o  .o  y
)  +o  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
1816, 17sylan9eq 2308 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( 1o  .o  y
)  =  y )  ->  ( 1o  .o  suc  y )  =  ( y  +o  1o ) )
19 oa1suc 6484 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
2019adantr 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( 1o  .o  y
)  =  y )  ->  ( y  +o  1o )  =  suc  y )
2118, 20eqtrd 2288 . . 3  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( 1o  .o  y
)  =  y )  ->  ( 1o  .o  suc  y )  =  suc  y )
2221ex 425 . 2  |-  ( y  e.  On  ->  (
( 1o  .o  y
)  =  y  -> 
( 1o  .o  suc  y )  =  suc  y ) )
23 iuneq2 3881 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  ( 1o  .o  y )  =  y  ->  U_ y  e.  x  ( 1o  .o  y )  =  U_ y  e.  x  y
)
24 uniiun 3915 . . . 4  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
2523, 24syl6eqr 2306 . . 3  |-  ( A. y  e.  x  ( 1o  .o  y )  =  y  ->  U_ y  e.  x  ( 1o  .o  y )  =  U. x )
26 vex 2760 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
27 omlim 6486 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( 1o  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( 1o  .o  y ) )
2814, 27mpan 654 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( 1o  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( 1o  .o  y
) )
2926, 28mpan 654 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( 1o  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( 1o  .o  y ) )
30 limuni 4410 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U. x )
3129, 30eqeq12d 2270 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( ( 1o  .o  x )  =  x  <->  U_ y  e.  x  ( 1o  .o  y
)  =  U. x
) )
3225, 31syl5ibr 214 . 2  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( 1o  .o  y )  =  y  ->  ( 1o  .o  x )  =  x ) )
333, 6, 9, 12, 13, 22, 32tfinds 4608 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( 1o  .o  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2757   (/)c0 3416   U.cuni 3787   U_ciun 3865   Oncon0 4350   Lim wlim 4351   suc csuc 4352  (class class class)co 5778   1oc1o 6426    +o coa 6430    .o comu 6431
This theorem is referenced by:  oe1  6496  omword2  6526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-omul 6438
  Copyright terms: Public domain W3C validator