Theorem om2uzran 6245

Description: Range of G (see om2uz0 6240).

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzran	|- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   x,C,y,z

Proof of Theorem om2uzran

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 3942	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om
2		om2uz.2	. . . . . . 7 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3		fneq1 3574	. . . . . . 7 |- (G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) -> (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om)
5	1, 4	mpbir 190	. . . . 5 |- G Fn om
6		fvelrnb 3751	. . . . 5 |- (G Fn om -> (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u)
8		eleq1 1531	. . . . . 6 |- ((G` w) = u -> ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
9		om2uz.1	. . . . . . 7 |- C e. ZZ
10	9, 2	om2uzuz 6242	. . . . . 6 |- (w e. om -> (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z})
11	8, 10	syl5cbi 209	. . . . 5 |- (w e. om -> ((G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
12	11	r19.23aiv 1740	. . . 4 |- (E.w e. om (G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
13	7, 12	sylbi 199	. . 3 |- (u e. ran G -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
14		breq2 2618	. . . . 5 |- (z = u -> (C <_ z <-> C <_ u))
15	14	elrab 1901	. . . 4 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (u e. ZZ /\ C <_ u))
16		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (w = C -> (w e. ran G <-> C e. ran G))
17		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (w = v -> (w e. ran G <-> v e. ran G))
18		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (w = (v + 1) -> (w e. ran G <-> (v + 1) e. ran G))
19		eleq1 1531	. . . . . 6 |- (w = u -> (w e. ran G <-> u e. ran G))
20	9, 2	om2uz0 6240	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) = C
21		peano1 3144	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
22		fnfvelrn 3804	. . . . . . . . 9 |- ((G Fn om /\ (/) e. om) -> (G` (/)) e. ran G)
23	5, 21, 22	mp2an 696	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) e. ran G
24	20, 23	eqeltrr 1542	. . . . . . 7 |- C e. ran G
25	24	a1i 8	. . . . . 6 |- (C e. ZZ -> C e. ran G)
26		fvelrnb 3751	. . . . . . . . 9 |- (G Fn om -> (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v))
27	5, 26	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v)
28	9, 2	om2uzsuc 6241	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
29		opreq1 3959	. . . . . . . . . . 11 |- ((G` w) = v -> ((G` w) + 1) = (v + 1))
30	28, 29	sylan9eq 1524	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) = (v + 1))
31		peano2 3145	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. om -> suc w e. om)
32		fnfvelrn 3804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((G Fn om /\ suc w e. om) -> (G` suc w) e. ran G)
33	5, 32	mpan 694	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc w e. om -> (G` suc w) e. ran G)
34	31, 33	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) e. ran G)
35	34	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) e. ran G)
36	30, 35	eqeltrrd 1546	. . . . . . . . 9 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (v + 1) e. ran G)
37	36	r19.23aiva 1741	. . . . . . . 8 |- (E.w e. om (G` w) = v -> (v + 1) e. ran G)
38	27, 37	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G)
39	38	a1i 8	. . . . . 6 |- ((C e. ZZ /\ v e. ZZ /\ C <_ v) -> (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G))
40	16, 17, 18, 19, 25, 39	uzind 6161	. . . . 5 |- ((C e. ZZ /\ u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
41	9, 40	mp3an1 901	. . . 4 |- ((u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
42	15, 41	sylbi 199	. . 3 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} -> u e. ran G)
43	13, 42	impbi 157	. 2 |- (u e. ran G <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
44	43	eqriv 1472	1 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  {crab 1645  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  {copab 2661  suc csuc 2945  omcom 3126  ran crn 3166   |` cres 3167   Fn wfn 3172  ` cfv 3177  reccrdg 3922  (class class class)co 3954  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275  ZZcz 5278

This theorem is referenced by:  om2uzf1o 6246  uzrdgval 6247

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091

Copyright terms: Public domain