Theorem om2uzrani 6663

Description: Range of G (see om2uz0i 6658).

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzrani	|- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   x,C,y,z

Proof of Theorem om2uzrani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 4252	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om
2		om2uz.2	. . . . . . 7 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3		fneq1 3688	. . . . . . 7 |- (G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) -> (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om)
5	1, 4	mpbir 188	. . . . 5 |- G Fn om
6		fvelrnb 3871	. . . . 5 |- (G Fn om -> (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u)
8		eleq1 1577	. . . . . 6 |- ((G` w) = u -> ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
9		om2uz.1	. . . . . . 7 |- C e. ZZ
10	9, 2	om2uzuzi 6660	. . . . . 6 |- (w e. om -> (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z})
11	8, 10	syl5cbi 207	. . . . 5 |- (w e. om -> ((G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
12	11	r19.23aiv 1789	. . . 4 |- (E.w e. om (G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
13	7, 12	sylbi 197	. . 3 |- (u e. ran G -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
14		breq2 2696	. . . . 5 |- (z = u -> (C <_ z <-> C <_ u))
15	14	elrab 1951	. . . 4 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (u e. ZZ /\ C <_ u))
16		eleq1 1577	. . . . . 6 |- (w = C -> (w e. ran G <-> C e. ran G))
17		eleq1 1577	. . . . . 6 |- (w = v -> (w e. ran G <-> v e. ran G))
18		eleq1 1577	. . . . . 6 |- (w = (v + 1) -> (w e. ran G <-> (v + 1) e. ran G))
19		eleq1 1577	. . . . . 6 |- (w = u -> (w e. ran G <-> u e. ran G))
20	9, 2	om2uz0i 6658	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) = C
21		peano1 3237	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
22		fnfvelrn 3927	. . . . . . . . 9 |- ((G Fn om /\ (/) e. om) -> (G` (/)) e. ran G)
23	5, 21, 22	mp2an 701	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) e. ran G
24	20, 23	eqeltrri 1588	. . . . . . 7 |- C e. ran G
25	24	a1i 8	. . . . . 6 |- (C e. ZZ -> C e. ran G)
26		fvelrnb 3871	. . . . . . . . 9 |- (G Fn om -> (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v))
27	5, 26	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v)
28	9, 2	om2uzsuci 6659	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
29		opreq1 4026	. . . . . . . . . . 11 |- ((G` w) = v -> ((G` w) + 1) = (v + 1))
30	28, 29	sylan9eq 1570	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) = (v + 1))
31		peano2 3238	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. om -> suc w e. om)
32		fnfvelrn 3927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((G Fn om /\ suc w e. om) -> (G` suc w) e. ran G)
33	5, 32	mpan 699	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc w e. om -> (G` suc w) e. ran G)
34	31, 33	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) e. ran G)
35	34	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) e. ran G)
36	30, 35	eqeltrrd 1592	. . . . . . . . 9 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (v + 1) e. ran G)
37	36	r19.23aiva 1790	. . . . . . . 8 |- (E.w e. om (G` w) = v -> (v + 1) e. ran G)
38	27, 37	sylbi 197	. . . . . . 7 |- (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G)
39	38	a1i 8	. . . . . 6 |- ((C e. ZZ /\ v e. ZZ /\ C <_ v) -> (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G))
40	16, 17, 18, 19, 25, 39	uzind 6376	. . . . 5 |- ((C e. ZZ /\ u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
41	9, 40	mp3an1 909	. . . 4 |- ((u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
42	15, 41	sylbi 197	. . 3 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} -> u e. ran G)
43	13, 42	impbii 155	. 2 |- (u e. ran G <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
44	43	eqriv 1515	1 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  E.wrex 1692  {crab 1694  (/)c0 2332   class class class wbr 2692  {copab 2740  suc csuc 2977  omcom 3218  ran crn 3252   |` cres 3253   Fn wfn 3258  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  reccrdg 4232  1c1 5389   + caddc 5391   <_ cle 5449  ZZcz 5452

This theorem is referenced by:  om2uzf1oi 6664  uzrdgvali 6666

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304

Copyright terms: Public domain