Theorem om2uzsuc 6296

Description: The value of G (see om2uz0 6295) at a successor.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzsuc	|- (A e. om -> (G` suc A) = ((G` A) + 1))

Distinct variable group:   x,y,C

Proof of Theorem om2uzsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 3034	. . . 4 |- (w = A -> suc w = suc A)
2	1	fveq2d 3728	. . 3 |- (w = A -> (G` suc w) = (G` suc A))
3		fveq2 3724	. . . 4 |- (w = A -> (G` w) = (G` A))
4	3	opreq1d 3975	. . 3 |- (w = A -> ((G` w) + 1) = ((G` A) + 1))
5	2, 4	eqeq12d 1489	. 2 |- (w = A -> ((G` suc w) = ((G` w) + 1) <-> (G` suc A) = ((G` A) + 1)))
6		oprex 3983	. . 3 |- ((G` w) + 1) e. V
7		ax-17 971	. . . 4 |- (v e. C -> A.x v e. C)
8		ax-17 971	. . . 4 |- (v e. w -> A.x v e. w)
9		om2uz.2	. . . . . . 7 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
10	9	fveq1i 3725	. . . . . 6 |- (G` w) = ((rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)` w)
11	10	opreq1i 3971	. . . . 5 |- ((G` w) + 1) = (((rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)` w) + 1)
12		hbopab1 2813	. . . . . . . . 9 |- (v e. {<.x, y>. | y = (x + 1)} -> A.x v e. {<.x, y>. | y = (x + 1)})
13	12, 7	hbrdg 3936	. . . . . . . 8 |- (v e. rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) -> A.x v e. rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C))
14		ax-17 971	. . . . . . . 8 |- (v e. om -> A.x v e. om)
15	13, 14	hbres 3370	. . . . . . 7 |- (v e. (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) -> A.x v e. (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om))
16	15, 8	hbfv 3729	. . . . . 6 |- (v e. ((rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)` w) -> A.x v e. ((rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)` w))
17		ax-17 971	. . . . . 6 |- (v e. + -> A.x v e. + )
18		ax-17 971	. . . . . 6 |- (v e. 1 -> A.x v e. 1)
19	16, 17, 18	hbopr 3981	. . . . 5 |- (v e. (((rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)` w) + 1) -> A.x v e. (((rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)` w) + 1))
20	11, 19	hbxfr 1563	. . . 4 |- (v e. ((G` w) + 1) -> A.x v e. ((G` w) + 1))
21		opreq1 3968	. . . 4 |- (x = (G` w) -> (x + 1) = ((G` w) + 1))
22	7, 8, 20, 9, 21	frsucopab 3954	. . 3 |- ((w e. om /\ ((G` w) + 1) e. V) -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
23	6, 22	mpan2 696	. 2 |- (w e. om -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
24	5, 23	vtoclga 1852	1 |- (A e. om -> (G` suc A) = ((G` A) + 1))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {copab 2666  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963  1c1 5235   + caddc 5237  ZZcz 5298

This theorem is referenced by:  om2uzuz 6297  om2uzlt 6298  om2uzran 6300  uzrdgsuc 6304

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain