MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omass Structured version   Unicode version

Theorem omass 6815
Description: Multiplication of ordinal numbers is associative. Theorem 8.26 of [TakeutiZaring] p. 65. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem omass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  (/) ) )
2 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
32oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
6 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
76oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y ) )
10 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1110oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
14 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1514oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
17 omcl 6772 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
18 om0 6753 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  B
)  .o  (/) )  =  (/) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
20 om0 6753 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2120oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
22 om0 6753 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2321, 22sylan9eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  (/) )
2419, 23eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
25 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) )
26 omsuc 6762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) ) )
2717, 26sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
28273impa 1148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  suc  y
)  =  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
29 omsuc 6762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
30293adant1 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
3130oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
32 omcl 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
33 odi 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
3432, 33syl3an2 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
35343exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) ) )
3635exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3736com34 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3837pm2.43d 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) )
39383imp 1147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4031, 39eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4128, 40eqeq12d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) )
4225, 41syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
43423exp 1152 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4443com3r 75 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4544imp3a 421 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
4617ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
47 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
48 omlim 6769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
4947, 48mpanr1 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
5046, 49sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
5150an32s 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
5251ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
53 iuneq2 4101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
54 limelon 4636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5547, 54mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
5655anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)
5756ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)
58 omordi 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  .o  y )  e.  ( B  .o  x ) ) )
5957, 58sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( y  e.  x  ->  ( B  .o  y
)  e.  ( B  .o  x ) ) )
60 ssid 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) )
61 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
6261sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  .o  y )  ->  (
( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z )  <->  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
6362rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  .o  y
)  e.  ( B  .o  x )  /\  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) )
6460, 63mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  .o  y )  e.  ( B  .o  x )  ->  E. z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  ( A  .o  z ) )
6559, 64syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( y  e.  x  ->  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) ) )
6665ralrimiv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) )
67 iunss2 4128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  x  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) )  C_  ( A  .o  z
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
6968adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z ) )
70 omcl 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  .o  x
)  e.  On )
7155, 70sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( B  .o  x )  e.  On )
72 onelon 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  .o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  -> 
z  e.  On )
7371, 72sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  -> 
z  e.  On )
7473adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  z  e.  On )
75 omordlim 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) )
7675ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) ) )
7747, 76mpanr1 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
z  e.  ( B  .o  x )  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y ) ) )
7877ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) ) )
79 onelon 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
8055, 79sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
8180, 32sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x ) )  -> 
( B  .o  y
)  e.  On )
82 onelss 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  .o  y )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  .o  y )  -> 
z  C_  ( B  .o  y ) ) )
83823ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  z  C_  ( B  .o  y ) ) )
84 omwordi 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) )
8583, 84syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
86853exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  .o  y
)  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) ) ) )
8781, 86syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x )
)  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
8887exp4d 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) ) ) )
8988imp32 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
9089com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
9190imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) )
9291reximdvai 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
)  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9378, 92syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9493exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  -> 
( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  x )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) ) ) )
9594imp4c 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9674, 95mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
9796ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  .o  x ) E. y  e.  x  ( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
98 iunss2 4128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( B  .o  x ) E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
10099adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
10169, 100eqssd 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
102 omlimcl 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  B )  ->  Lim  ( B  .o  x ) )
10347, 102mpanlr1 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  Lim  ( B  .o  x
) )
104 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  .o  x )  e. 
_V
105 omlim 6769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  .o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  .o  x ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
106104, 105mpanr1 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  .o  x
) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
107103, 106sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  (/)  e.  B
) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
108107ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  (/)  e.  B
)  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
109108an32s 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
110101, 109eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
11153, 110sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
11252, 111eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
113112exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
114 eloni 4583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
115 ord0eln0 4627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
B  ->  ( (/)  e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
116115necon2bbid 2656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
B  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  B
) )
117114, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  B
) )
118117ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  B ) )
119 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( A  .o  (/) ) )
120119, 22sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  .o  B
)  =  (/) )
121120oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( (/)  .o  x ) )
122 om0r 6775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
.o  x )  =  (/) )
123121, 122sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  =  (/) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  (/) )
124123anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  (/) )
125 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( (/)  .o  x
) )
126125, 122sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( B  .o  x
)  =  (/) )
127126oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
128127, 22sylan9eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  (/) )
129128an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  (/) )
130124, 129eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
131130ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
13255, 131sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) )
133132adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
134118, 133sylbird 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
135134a1dd 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
136113, 135pm2.61d 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
137136exp31 588 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) ) ) )
138137com3l 77 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) ) ) )
139138imp3a 421 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
1404, 8, 12, 16, 24, 45, 139tfinds3 4836 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
141140exp3a 426 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
142141com3l 77 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
1431423imp 1147 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U_ciun 4085   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575  (class class class)co 6073    +o coa 6713    .o comu 6714
This theorem is referenced by:  oeoalem  6831  omabs  6882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721
  Copyright terms: Public domain W3C validator