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Theorem omass 6546
Description: Multiplication of ordinal numbers is associative. Theorem 8.26 of [TakeutiZaring] p. 65. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem omass
StepHypRef Expression
1 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  (/) ) )
2 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
32oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
6 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
76oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y ) )
10 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
1110oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <-> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
14 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1514oveq2d 5808 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2272 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  <->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
17 omcl 6503 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
18 om0 6484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  (
( A  .o  B
)  .o  (/) )  =  (/) )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  (/) )
20 om0 6484 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  .o  (/) )  =  (/) )
2120oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
22 om0 6484 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2321, 22sylan9eqr 2312 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) )  =  (/) )
2419, 23eqtr4d 2293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  (/) )  =  ( A  .o  ( B  .o  (/) ) ) )
25 oveq1 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) )
26 omsuc 6493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  +o  ( A  .o  B ) ) )
2717, 26sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
28273impa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  suc  y
)  =  ( ( ( A  .o  B
)  .o  y )  +o  ( A  .o  B ) ) )
29 omsuc 6493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
30293adant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
3130oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
32 omcl 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
33 odi 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
3432, 33syl3an2 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
35343exp 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) ) )
3635exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3736com34 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) ) )
3837pm2.43d 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B
) ) ) ) )
39383imp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4031, 39eqtrd 2290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y
) )  +o  ( A  .o  B ) ) )
4128, 40eqeq12d 2272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) )  <->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  +o  ( A  .o  B
) )  =  ( ( A  .o  ( B  .o  y ) )  +o  ( A  .o  B ) ) ) )
4225, 41syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
43423exp 1155 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4443com3r 75 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4544imp3a 422 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o 
suc  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) )
4617ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
47 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
48 omlim 6500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
4947, 48mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
5046, 49sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
5150an32s 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y ) )
5251ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y ) )
53 iuneq2 3895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
54 limelon 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5547, 54mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
5655anim1i 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)
5756ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)
58 omordi 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (/)  e.  B )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  .o  y )  e.  ( B  .o  x ) ) )
5957, 58sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( y  e.  x  ->  ( B  .o  y
)  e.  ( B  .o  x ) ) )
60 ssid 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) )
61 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
6261sseq2d 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  .o  y )  ->  (
( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z )  <->  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
6362rcla4ev 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  .o  y
)  e.  ( B  .o  x )  /\  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) )
6460, 63mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  .o  y )  e.  ( B  .o  x )  ->  E. z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  ( A  .o  z ) )
6559, 64syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  -> 
( y  e.  x  ->  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) ) )
6665ralrimiv 2600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  ( A  .o  z ) )
67 iunss2 3921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  x  E. z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  ( B  .o  y ) )  C_  ( A  .o  z
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z ) )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
6968adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z ) )
70 omcl 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  .o  x
)  e.  On )
7155, 70sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( B  .o  x )  e.  On )
72 onelon 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  .o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  -> 
z  e.  On )
7371, 72sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  -> 
z  e.  On )
7473adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  z  e.  On )
75 omordlim 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  z  e.  ( B  .o  x ) )  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) )
7675ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) ) )
7747, 76mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
z  e.  ( B  .o  x )  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y ) ) )
7877ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
) ) )
79 onelon 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
8055, 79sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
8180, 32sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x ) )  -> 
( B  .o  y
)  e.  On )
82 onelss 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  .o  y )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  .o  y )  -> 
z  C_  ( B  .o  y ) ) )
83823ad2ant2 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  z  C_  ( B  .o  y ) ) )
84 omwordi 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) )
8583, 84syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
86853exp 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  .o  y
)  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) ) ) )
8781, 86syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  y  e.  x )
)  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
8887exp4d 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  (
y  e.  x  -> 
( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) ) ) )
8988imp32 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( y  e.  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
9089com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  ( z  e.  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) ) )
9190imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( z  e.  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) ) )
9291reximdvai 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  z  e.  ( B  .o  y
)  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9378, 92syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\ 
Lim  x ) )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  .o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9493exp31 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  On  ->  (
( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  -> 
( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  .o  x )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) ) ) ) )
9594imp4c 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  On  ->  (
( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) ) )
9674, 95mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  z  e.  ( B  .o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
9796ralrimiva 2601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  .o  x ) E. y  e.  x  ( A  .o  z
)  C_  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
98 iunss2 3921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. z  e.  ( B  .o  x ) E. y  e.  x  ( A  .o  z )  C_  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
10099adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ z  e.  ( B  .o  x
) ( A  .o  z )  C_  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) ) )
10169, 100eqssd 3171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
102 omlimcl 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  (/)  e.  B )  ->  Lim  ( B  .o  x ) )
10347, 102mpanlr1 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  (/) 
e.  B )  ->  Lim  ( B  .o  x
) )
104 ovex 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  .o  x )  e. 
_V
105 omlim 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  .o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  .o  x ) ) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
106104, 105mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  .o  x
) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
107103, 106sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  (/)  e.  B
) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
108107ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  (/)  e.  B
)  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z
) )
109108an32s 782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  .o  x ) ( A  .o  z ) )
110101, 109eqtr4d 2293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x
)  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
11153, 110sylan9eqr 2312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
11252, 111eqtrd 2290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  B
)  /\  A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
113112exp31 590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
114 eloni 4374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
115 ord0eln0 4418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
B  ->  ( (/)  e.  B  <->  B  =/=  (/) ) )
116115necon2bbid 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
B  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  B
) )
117114, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  B
) )
118117ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  <->  -.  (/) 
e.  B ) )
119 oveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( A  .o  (/) ) )
120119, 22sylan9eqr 2312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  .o  B
)  =  (/) )
121120oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( (/)  .o  x ) )
122 om0r 6506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  On  ->  ( (/) 
.o  x )  =  (/) )
123121, 122sylan9eqr 2312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( A  e.  On  /\  B  =  (/) ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  (/) )
124123anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  (/) )
125 oveq1 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( (/)  .o  x
) )
126125, 122sylan9eqr 2312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( B  .o  x
)  =  (/) )
127126oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  ( A  .o  (/) ) )
128127, 22sylan9eq 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  =  (/) )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x ) )  =  (/) )
129128an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( A  .o  ( B  .o  x
) )  =  (/) )
130124, 129eqtr4d 2293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  B  =  (/) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) )
131130ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
13255, 131sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) )
133132adantll 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( B  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
134118, 133sylbird 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
135134a1dd 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( -.  (/)  e.  B  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
136113, 135pm2.61d 152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) )
137136exp31 590 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) ) ) )
138137com3l 77 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  (
( A  .o  B
)  .o  y )  =  ( A  .o  ( B  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  x )  =  ( A  .o  ( B  .o  x
) ) ) ) ) )
139138imp3a 422 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  .o  B )  .o  y
)  =  ( A  .o  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  B )  .o  x
)  =  ( A  .o  ( B  .o  x ) ) ) ) )
1404, 8, 12, 16, 24, 45, 139tfinds3 4627 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) ) )
141140exp3a 427 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
142141com3l 77 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) ) ) )
1431423imp 1150 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   (/)c0 3430   U_ciun 3879   Ord word 4363   Oncon0 4364   Lim wlim 4365   suc csuc 4366  (class class class)co 5792    +o coa 6444    .o comu 6445
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452
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