Theorem omcan 4206

Description: Left cancellation law for ordinal multiplication. Proposition 8.20 of [TakeutiZaring] p. 63 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
omcan	|- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Proof of Theorem omcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omordi 4203	. . . . . . . . 9 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C)))
2	1	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
3	2	ancoms 438	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
4	3	3adant2 800	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C))))
5	4	imp 350	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (B e. C -> (A .o B) e. (A .o C)))
6		omordi 4203	. . . . . . . . 9 |- (((B e. On /\ A e. On) /\ (/) e. A) -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B)))
7	6	ex 373	. . . . . . . 8 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
8	7	ancoms 438	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
9	8	3adant3 801	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. A -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B))))
10	9	imp 350	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (C e. B -> (A .o C) e. (A .o B)))
11	5, 10	orim12d 567	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((B e. C \/ C e. B) -> ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
12	11	con3d 95	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (-. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B)) -> -. (B e. C \/ C e. B)))
13		ordtri3 2989	. . . . . 6 |- ((Ord (A .o B) /\ Ord (A .o C)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
14		omcl 4177	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)
15		eloni 2964	. . . . . . 7 |- ((A .o B) e. On -> Ord (A .o B))
16	14, 15	syl 10	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> Ord (A .o B))
17		omcl 4177	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ C e. On) -> (A .o C) e. On)
18		eloni 2964	. . . . . . 7 |- ((A .o C) e. On -> Ord (A .o C))
19	17, 18	syl 10	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ C e. On) -> Ord (A .o C))
20	13, 16, 19	syl2an 456	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (A e. On /\ C e. On)) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
21	20	3impdi 882	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
22	21	adantr 391	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> -. ((A .o B) e. (A .o C) \/ (A .o C) e. (A .o B))))
23		ordtri3 2989	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ Ord C) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
24		eloni 2964	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
25		eloni 2964	. . . . . 6 |- (C e. On -> Ord C)
26	23, 24, 25	syl2an 456	. . . . 5 |- ((B e. On /\ C e. On) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
27	26	3adant1 799	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
28	27	adantr 391	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> (B = C <-> -. (B e. C \/ C e. B)))
29	12, 22, 28	3imtr4d 545	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
30		opreq2 3975	. 2 |- (B = C -> (A .o B) = (A .o C))
31	29, 30	impbid1 519	1 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2283  Ord word 2953  Oncon0 2954  (class class class)co 3969   .o comu 4137

This theorem is referenced by:  omword 4207  nnmcan 4254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141  df-omul 4142

Copyright terms: Public domain