Theorem omcl 4155

Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57.

Assertion

Ref	Expression
omcl	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)

Proof of Theorem omcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3954	. . . 4 |- (x = (/) -> (A .o x) = (A .o (/)))
2	1	eleq1d 1532	. . 3 |- (x = (/) -> ((A .o x) e. On <-> (A .o (/)) e. On))
3		opreq2 3954	. . . 4 |- (x = y -> (A .o x) = (A .o y))
4	3	eleq1d 1532	. . 3 |- (x = y -> ((A .o x) e. On <-> (A .o y) e. On))
5		opreq2 3954	. . . 4 |- (x = suc y -> (A .o x) = (A .o suc y))
6	5	eleq1d 1532	. . 3 |- (x = suc y -> ((A .o x) e. On <-> (A .o suc y) e. On))
7		opreq2 3954	. . . 4 |- (x = B -> (A .o x) = (A .o B))
8	7	eleq1d 1532	. . 3 |- (x = B -> ((A .o x) e. On <-> (A .o B) e. On))
9		om0 4140	. . . 4 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))
10		0elon 3012	. . . 4 |- (/) e. On
11	9, 10	syl6eqel 1548	. . 3 |- (A e. On -> (A .o (/)) e. On)
12		omsuc 4149	. . . . . . . . 9 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
13	12	eleq1d 1532	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ y e. On) -> ((A .o suc y) e. On <-> ((A .o y) +o A) e. On))
14		oacl 4154	. . . . . . . 8 |- (((A .o y) e. On /\ A e. On) -> ((A .o y) +o A) e. On)
15	13, 14	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (((A .o y) e. On /\ A e. On) -> (A .o suc y) e. On))
16	15	exp4b 379	. . . . . 6 |- (A e. On -> (y e. On -> ((A .o y) e. On -> (A e. On -> (A .o suc y) e. On))))
17	16	com24 37	. . . . 5 |- (A e. On -> (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (y e. On -> (A .o suc y) e. On))))
18	17	pm2.43i 64	. . . 4 |- (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (y e. On -> (A .o suc y) e. On)))
19	18	com3r 35	. . 3 |- (y e. On -> (A e. On -> ((A .o y) e. On -> (A .o suc y) e. On)))
20		visset 1804	. . . . . . . 8 |- x e. V
21		omlim 4152	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ (x e. V /\ Lim x)) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
22	20, 21	mpanr1 707	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ Lim x) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
23	22	ancoms 436	. . . . . 6 |- ((Lim x /\ A e. On) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
24	23	eleq1d 1532	. . . . 5 |- ((Lim x /\ A e. On) -> ((A .o x) e. On <-> U_y e. x (A .o y) e. On))
25		oprex 3968	. . . . . 6 |- (A .o y) e. V
26	20, 25	iunon 3894	. . . . 5 |- (A.y e. x (A .o y) e. On -> U_y e. x (A .o y) e. On)
27	24, 26	syl5bir 210	. . . 4 |- ((Lim x /\ A e. On) -> (A.y e. x (A .o y) e. On -> (A .o x) e. On))
28	27	ex 373	. . 3 |- (Lim x -> (A e. On -> (A.y e. x (A .o y) e. On -> (A .o x) e. On)))
29	2, 4, 6, 8, 11, 19, 28	tfinds3 3156	. 2 |- (B e. On -> (A e. On -> (A .o B) e. On))
30	29	impcom 351	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  (/)c0 2270  U_ciun 2556  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  suc csuc 2940  (class class class)co 3948   +o coa 4114   .o comu 4115

This theorem is referenced by:  oecl 4156  omordi 4181  omord2 4182  omcan 4184  omword 4185  omwordri 4187  om00 4190  om00el 4191  omlimcl 4193  odi 4194  omass 4195  oneo 4196

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain