MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Unicode version

Theorem ominf 7284
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf  |-  -.  om  e.  Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 7094 . . 3  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
2 nnord 4816 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
3 ordom 4817 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
4 ordelssne 4572 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  om )  ->  ( x  e.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) ) )
52, 3, 4sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  om  <->  ( x  C_ 
om  /\  x  =/=  om ) ) )
65ibi 233 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  /\  x  =/=  om ) )
7 df-pss 3300 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) )
86, 7sylibr 204 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  C.  om )
9 ensym 7119 . . . . 5  |-  ( om 
~~  x  ->  x  ~~  om )
10 pssinf 7282 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  om  /\  x  ~~  om )  ->  -.  om  e.  Fin )
118, 9, 10syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  om 
~~  x )  ->  -.  om  e.  Fin )
1211rexlimiva 2789 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  om  ~~  x  ->  -.  om  e.  Fin )
131, 12sylbi 188 . 2  |-  ( om  e.  Fin  ->  -.  om  e.  Fin )
14 pm2.01 162 . 2  |-  ( ( om  e.  Fin  ->  -. 
om  e.  Fin )  ->  -.  om  e.  Fin )
1513, 14ax-mp 8 1  |-  -.  om  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2571   E.wrex 2671    C_ wss 3284    C. wpss 3285   class class class wbr 4176   Ord word 4544   omcom 4808    ~~ cen 7069   Fincfn 7072
This theorem is referenced by:  fineqv  7287  nnsdomg  7329  ackbij1lem18  8077  fin23lem21  8179  fin23lem28  8180  fin23lem30  8182  isfin1-2  8225  uzinf  11264  bitsf1  12917  odhash  15167  ufinffr  17918  diophin  26725  diophren  26768  fiphp3d  26774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076
  Copyright terms: Public domain W3C validator