MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Unicode version

Theorem ominf 7008
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf  |-  -.  om  e.  Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 6818 . . 3  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
2 nnord 4601 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  om  ->  Ord  x )
3 ordom 4602 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
4 ordelssne 4356 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  om )  ->  ( x  e.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) ) )
52, 3, 4sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  om  <->  ( x  C_ 
om  /\  x  =/=  om ) ) )
65ibi 234 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  /\  x  =/=  om ) )
7 df-pss 3110 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  om  <->  ( x  C_  om 
/\  x  =/=  om ) )
86, 7sylibr 205 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  C.  om )
9 ensym 6843 . . . . 5  |-  ( om 
~~  x  ->  x  ~~  om )
10 pssinf 7006 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  om  /\  x  ~~  om )  ->  -.  om  e.  Fin )
118, 9, 10syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  om 
~~  x )  ->  -.  om  e.  Fin )
1211rexlimiva 2633 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  om  ~~  x  ->  -.  om  e.  Fin )
131, 12sylbi 189 . 2  |-  ( om  e.  Fin  ->  -.  om  e.  Fin )
14 pm2.01 162 . 2  |-  ( ( om  e.  Fin  ->  -. 
om  e.  Fin )  ->  -.  om  e.  Fin )
1513, 14ax-mp 10 1  |-  -.  om  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517    C_ wss 3094    C. wpss 3095   class class class wbr 3963   Ord word 4328   omcom 4593    ~~ cen 6793   Fincfn 6796
This theorem is referenced by:  fineqv  7011  nnsdomg  7049  ackbij1lem18  7796  fin23lem21  7898  fin23lem28  7899  fin23lem30  7901  isfin1-2  7944  uzinf  10959  bitsf1  12564  odhash  14812  ufinffr  17551  diophin  26184  diophren  26228  fiphp3d  26234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800
  Copyright terms: Public domain W3C validator