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Theorem omlfh1N 28716
Description: Foulis-Holland Theorem, part 1. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Part of Theorem 5 in [Kalmbach] p. 25. (fh1 22190 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlfh1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
omlfh1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
omlfh1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
omlfh1.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
omlfh1N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )

Proof of Theorem omlfh1N
StepHypRef Expression
1 omllat 28700 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
2 omlfh1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4 omlfh1.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 omlfh1.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
62, 3, 4, 5latledi 14190 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
71, 6sylan 459 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
873adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
91adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
10 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
11 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
12 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
132, 4latjcl 14151 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  e.  B )
149, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  e.  B )
152, 5latmcom 14176 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  X ) )
169, 10, 14, 15syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( Y  .\/  Z
)  ./\  X )
)
17 omlol 28698 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
1817adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  OL )
192, 5latmcl 14152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
209, 10, 11, 19syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
212, 5latmcl 14152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  ./\  Z
)  e.  B )
229, 10, 12, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Z )  e.  B )
23 eqid 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
242, 4, 5, 23oldmj1 28679 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X  ./\  Z )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  Z ) ) ) )
2518, 20, 22, 24syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  Z ) ) ) )
262, 4, 5, 23oldmm1 28675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
2718, 10, 11, 26syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
282, 4, 5, 23oldmm1 28675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Z ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
2918, 10, 12, 28syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\ 
Z ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )
3027, 29oveq12d 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
3125, 30eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
3216, 31oveq12d 5838 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( ( ( Y  .\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) )
33323adant3 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( ( ( Y  .\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) )
34 omlop 28699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
3534adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  OP )
362, 23opoccl 28652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
3735, 10, 36syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  e.  B )
382, 23opoccl 28652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
3935, 11, 38syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  Y )  e.  B )
402, 4latjcl 14151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  e.  B
)
419, 37, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) )  e.  B )
422, 23opoccl 28652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )
4335, 12, 42syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  Z )  e.  B )
442, 4latjcl 14151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) )  e.  B
)
459, 37, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) )  e.  B )
462, 5latmcl 14152 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
)  e.  B )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  e.  B )
479, 41, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  e.  B )
482, 5latmassOLD 28687 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( Y  .\/  Z )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( Y  .\/  Z ) 
./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z ) 
./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) ) )
4918, 14, 10, 47, 48syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( Y  .\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z ) 
./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) ) )
50493adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) ) )
51 omlfh1.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  ( cm `  K
)
522, 23, 51cmt2N 28708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X C ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
53523adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  X C
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
54 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  OML )
552, 4, 5, 23, 51cmtbr3N 28712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( X C ( ( oc `  K ) `  Y
)  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5654, 10, 39, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C ( ( oc
`  K ) `  Y )  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5753, 56bitrd 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5857biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X C Y )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  =  ( X  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
5958adantrr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
60593impa 1148 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
612, 23, 51cmt2N 28708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X C Z  <-> 
X C ( ( oc `  K ) `
 Z ) ) )
62613adant3r2 1163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Z  <->  X C
( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
632, 4, 5, 23, 51cmtbr3N 28712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )  ->  ( X C ( ( oc `  K ) `  Z
)  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )
6454, 10, 43, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C ( ( oc
`  K ) `  Z )  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )
6562, 64bitrd 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Z  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )
6665biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X C Z )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  =  ( X  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) )
6766adantrl 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
68673impa 1148 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
6960, 68oveq12d 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( ( X 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `
 Z ) ) ) )
702, 5latmmdiN 28692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
)  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( X  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
7118, 10, 41, 45, 70syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( X  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
72713adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( ( X 
./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
732, 5latmmdiN 28692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( ( X  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
7418, 10, 39, 43, 73syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  =  ( ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  ( X  ./\  ( ( oc
`  K ) `  Z ) ) ) )
75743adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  Y
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  =  ( ( X 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `
 Z ) ) ) )
7669, 72, 753eqtr4d 2327 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )
7776oveq2d 5836 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z
)  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) ) )
782, 5latmcl 14152 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) )  e.  B
)
799, 39, 43, 78syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  Y
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) )  e.  B )
802, 5latm12 28688 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( Y  .\/  Z )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
)  e.  B ) )  ->  ( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
8118, 14, 10, 79, 80syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
82813adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
8350, 77, 823eqtrd 2321 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
842, 4, 5, 23oldmj1 28679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
8518, 11, 12, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) )
8685oveq2d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
87 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
882, 23, 5, 87opnoncon 28666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
8935, 14, 88syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
9086, 89eqtr3d 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  =  ( 0. `  K
) )
9190oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  ( 0. `  K ) ) )
922, 5, 87olm01 28694 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( 0. `  K ) )  =  ( 0. `  K ) )
9318, 10, 92syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( 0. `  K ) )  =  ( 0. `  K
) )
9491, 93eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( 0. `  K
) )
95943adant3 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
9633, 83, 953eqtrd 2321 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
972, 4latjcl 14151 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X  ./\  Z )  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) )  e.  B )
989, 20, 22, 97syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) )  e.  B )
992, 5latmcl 14152 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B )
1009, 10, 14, 99syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)
1012, 3, 5, 23, 87omllaw3 28703 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)  ->  ( (
( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  /\  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) )  =  ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
10254, 98, 100, 101syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) ( le `  K ) ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) )  /\  (
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) )  =  ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
1031023adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  /\  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) )  =  ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
1048, 96, 103mp2and 662 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) )  =  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
105104eqcomd 2290 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   Basecbs 13143   lecple 13210   occoc 13211   joincjn 14073   meetcmee 14074   0.cp0 14138   Latclat 14146   OPcops 28630   cmccmtN 28631   OLcol 28632   OMLcoml 28633
This theorem is referenced by:  omlfh3N  28717  omlmod1i2N  28718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14075  df-lub 14103  df-glb 14104  df-join 14105  df-meet 14106  df-p0 14140  df-lat 14147  df-oposet 28634  df-cmtN 28635  df-ol 28636  df-oml 28637
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