Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlfh1N Unicode version

Theorem omlfh1N 29895
Description: Foulis-Holland Theorem, part 1. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Part of Theorem 5 in [Kalmbach] p. 25. (fh1 23108 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlfh1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
omlfh1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
omlfh1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
omlfh1.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
omlfh1N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )

Proof of Theorem omlfh1N
StepHypRef Expression
1 omllat 29879 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
2 omlfh1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4 omlfh1.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 omlfh1.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
62, 3, 4, 5latledi 14506 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
71, 6sylan 458 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
873adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
91adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
10 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
11 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
12 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
132, 4latjcl 14467 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  e.  B )
149, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  e.  B )
152, 5latmcom 14492 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  X ) )
169, 10, 14, 15syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( Y  .\/  Z
)  ./\  X )
)
17 omlol 29877 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
1817adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  OL )
192, 5latmcl 14468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
209, 10, 11, 19syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
212, 5latmcl 14468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  ./\  Z
)  e.  B )
229, 10, 12, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Z )  e.  B )
23 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
242, 4, 5, 23oldmj1 29858 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X  ./\  Z )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  Z ) ) ) )
2518, 20, 22, 24syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  Z ) ) ) )
262, 4, 5, 23oldmm1 29854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
2718, 10, 11, 26syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
282, 4, 5, 23oldmm1 29854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Z ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
2918, 10, 12, 28syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( X  ./\ 
Z ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )
3027, 29oveq12d 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  ( X  ./\  Y ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
3125, 30eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )  =  ( ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
3216, 31oveq12d 6090 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( ( ( Y  .\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) )
33323adant3 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( ( ( Y  .\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) )
34 omlop 29878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
3534adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  OP )
362, 23opoccl 29831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B )
3735, 10, 36syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  X )  e.  B )
382, 23opoccl 29831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )
3935, 11, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  Y )  e.  B )
402, 4latjcl 14467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  e.  B
)
419, 37, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) )  e.  B )
422, 23opoccl 29831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )
4335, 12, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  Z )  e.  B )
442, 4latjcl 14467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  X
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) )  e.  B
)
459, 37, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) )  e.  B )
462, 5latmcl 14468 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
)  e.  B )  ->  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  e.  B )
479, 41, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  e.  B )
482, 5latmassOLD 29866 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( Y  .\/  Z )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( Y  .\/  Z ) 
./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z ) 
./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) ) )
4918, 14, 10, 47, 48syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( Y  .\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z ) 
./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) ) )
50493adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) ) )
51 omlfh1.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  ( cm `  K
)
522, 23, 51cmt2N 29887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X C ( ( oc `  K ) `
 Y ) ) )
53523adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  X C
( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
54 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  OML )
552, 4, 5, 23, 51cmtbr3N 29891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B )  ->  ( X C ( ( oc `  K ) `  Y
)  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5654, 10, 39, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C ( ( oc
`  K ) `  Y )  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5753, 56bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Y  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) ) )
5857biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X C Y )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  =  ( X  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
) )
5958adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
60593impa 1148 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )
612, 23, 51cmt2N 29887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X C Z  <-> 
X C ( ( oc `  K ) `
 Z ) ) )
62613adant3r2 1163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Z  <->  X C
( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
632, 4, 5, 23, 51cmtbr3N 29891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )  ->  ( X C ( ( oc `  K ) `  Z
)  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )
6454, 10, 43, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C ( ( oc
`  K ) `  Z )  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )
6562, 64bitrd 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X C Z  <->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )
6665biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  X C Z )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  =  ( X  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) )
6766adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
68673impa 1148 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
6960, 68oveq12d 6090 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( ( X 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `
 Z ) ) ) )
702, 5latmmdiN 29871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
)  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( X  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
7118, 10, 41, 45, 70syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) )  =  ( ( X  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
72713adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( ( X 
./\  ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
732, 5latmmdiN 29871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) )  =  ( ( X  ./\  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
7418, 10, 39, 43, 73syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  =  ( ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  ( X  ./\  ( ( oc
`  K ) `  Z ) ) ) )
75743adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( oc `  K ) `  Y
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) )  =  ( ( X 
./\  ( ( oc
`  K ) `  Y ) )  ./\  ( X  ./\  ( ( oc `  K ) `
 Z ) ) ) )
7669, 72, 753eqtr4d 2477 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Y )
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )
7776oveq2d 6088 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( ( oc `  K ) `
 X )  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y
) )  ./\  (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Z ) ) ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z
)  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) ) )
782, 5latmcl 14468 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( oc `  K ) `  Y
)  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  Z
)  e.  B )  ->  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) )  e.  B
)
799, 39, 43, 78syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( oc `  K ) `  Y
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z ) )  e.  B )
802, 5latm12 29867 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( Y  .\/  Z )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
)  e.  B ) )  ->  ( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
8118, 14, 10, 79, 80syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
82813adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( X  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
8350, 77, 823eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  X )  ./\  ( (
( ( oc `  K ) `  X
)  .\/  ( ( oc `  K ) `  Y ) )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  X )  .\/  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) ) )
842, 4, 5, 23oldmj1 29858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( ( oc `  K ) `
 Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )
8518, 11, 12, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) )
8685oveq2d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) ) )  =  ( ( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )
87 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
882, 23, 5, 87opnoncon 29845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( ( Y  .\/  Z )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
8935, 14, 88syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( Y  .\/  Z ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
9086, 89eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) )  =  ( 0. `  K
) )
9190oveq2d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( X  ./\  ( 0. `  K ) ) )
922, 5, 87olm01 29873 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( 0. `  K ) )  =  ( 0. `  K ) )
9318, 10, 92syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( 0. `  K ) )  =  ( 0. `  K
) )
9491, 93eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( ( Y 
.\/  Z )  ./\  ( ( ( oc
`  K ) `  Y )  ./\  (
( oc `  K
) `  Z )
) ) )  =  ( 0. `  K
) )
95943adant3 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  (
( Y  .\/  Z
)  ./\  ( (
( oc `  K
) `  Y )  ./\  ( ( oc `  K ) `  Z
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
9633, 83, 953eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )
972, 4latjcl 14467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X  ./\  Z )  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) )  e.  B )
989, 20, 22, 97syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) )  e.  B )
992, 5latmcl 14468 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B )
1009, 10, 14, 99syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)
1012, 3, 5, 23, 87omllaw3 29882 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)  ->  ( (
( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  /\  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  (
( X  ./\  Y
)  .\/  ( X  ./\ 
Z ) ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) )  =  ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
10254, 98, 100, 101syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) ( le `  K ) ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) )  /\  (
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) 
./\  ( ( oc
`  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) )  =  ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
1031023adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  /\  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  ./\  ( ( oc `  K ) `  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) ) ) )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) )  =  ( X 
./\  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
1048, 96, 103mp2and 661 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  Z ) )  =  ( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) ) )
105104eqcomd 2440 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X C Y  /\  X C Z ) )  -> 
( X  ./\  ( Y  .\/  Z ) )  =  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   lecple 13524   occoc 13525   joincjn 14389   meetcmee 14390   0.cp0 14454   Latclat 14462   OPcops 29809   cmccmtN 29810   OLcol 29811   OMLcoml 29812
This theorem is referenced by:  omlfh3N  29896  omlmod1i2N  29897
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-poset 14391  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-lat 14463  df-oposet 29813  df-cmtN 29814  df-ol 29815  df-oml 29816
  Copyright terms: Public domain W3C validator