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Theorem omlimcl 6576
Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )

Proof of Theorem omlimcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4455 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 omcl 6535 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
3 eloni 4402 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  B
) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
51, 4sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
65adantr 451 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
7 0ellim 4454 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
8 n0i 3460 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
10 n0i 3460 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  A  =  (/) )
119, 10anim12ci 550 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  B  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1211adantll 694 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1312adantll 694 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
14 om00 6573 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
1514notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
16 ioran 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  <->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1715, 16syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
181, 17sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
2013, 19mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  (/) )
21 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2221sucid 4471 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
suc  y
23 omlim 6532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
24 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) ) )
2524biimpac 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2623, 25sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2722, 26syl5eleq 2369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) )
28 eliun 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
3029adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
31 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
321, 31sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
33 onnbtwn 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
34 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
3533, 34sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3635com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3832, 37mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3938adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  B  e.  suc  x )
4039adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
42 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
4342, 31jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
441, 43sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
4544anim2i 552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
4645anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
47 omcl 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
48 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  x
) )
49 ordsucelsuc 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  ( A  .o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  .o  x ) ) )
51 oa1suc 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  =  suc  ( A  .o  x ) )
5251eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  ( suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5350, 52bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o ) ) )
5447, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
56 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
57 ordgt0ge1 6496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  1o  C_  A
) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
60 1on 6486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1o  e.  On
61 oaword 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
6260, 61mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A  .o  x
)  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A 
<->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6347, 62syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6459, 63bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6564biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) )
66 omsuc 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6865, 67sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( A  .o  suc  x ) )
6968sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7055, 69sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x ) ) )
71 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7271biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7370, 72syl9 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7473com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7574adantlrl 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
76 sucelon 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
77 omord 6566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( B  e. 
suc  x  /\  (/)  e.  A
)  <->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
78 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  suc  x  /\  (/)  e.  A )  ->  B  e.  suc  x )
7977, 78syl6bir 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
8076, 79syl3an2b 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
81803comr 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
82813expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8475, 83syl6d 64 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8546, 84sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8685an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8786imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
8841, 87mtod 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
8988exp31 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) ) )
9089rexlimdv 2666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9190adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) )
9230, 91mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)
9392ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) )
9493pm2.01d 161 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9594adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9695nrexdv 2646 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y )
97 ioran 476 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9820, 96, 97sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
99 dflim3 4638 . 2  |-  ( Lim  ( A  .o  B
)  <->  ( Ord  ( A  .o  B )  /\  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) ) )
1006, 98, 99sylanbrc 645 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    +o coa 6476    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  odi  6577  omass  6578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484
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