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Theorem omlimcl 6571
Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem omlimcl
StepHypRef Expression
1 limelon 4454 . . . 4  |-  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  ->  B  e.  On )
2 omcl 6530 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
3 eloni 4401 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  B
) )
42, 3syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
51, 4sylan2 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
65adantr 453 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Ord  ( A  .o  B ) )
7 0ellim 4453 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
B  ->  (/)  e.  B
)
8 n0i 3461 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
B  ->  -.  B  =  (/) )
10 n0i 3461 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  A  =  (/) )
119, 10anim12ci 552 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  B  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1211adantll 696 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  (/) 
e.  A )  -> 
( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1312adantll 696 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
14 om00 6568 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
1514notbid 287 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) ) )
16 ioran 478 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) )  <->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) )
1715, 16syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
181, 17sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
1918adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/) 
<->  ( -.  A  =  (/)  /\  -.  B  =  (/) ) ) )
2013, 19mpbird 225 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  (/) )
21 vex 2792 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2221sucid 4470 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
suc  y
23 omlim 6527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
24 eqeq1 2290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  suc  y  = 
U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) ) )
2524biimpac 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  B
)  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2623, 25sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  suc  y  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
2722, 26syl5eleq 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x
) )
28 eliun 3910 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
2927, 28sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
3029adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
) )
31 onelon 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
321, 31sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
33 onnbtwn 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  On  ->  -.  ( x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
34 imnan 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x )  <->  -.  (
x  e.  B  /\  B  e.  suc  x ) )
3533, 34sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3635com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x
) )
3736adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  On  ->  -.  B  e.  suc  x ) )
3832, 37mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
3938adantll 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  -.  B  e.  suc  x )
4039adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  -.  B  e.  suc  x )
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  B  e.  suc  x )
42 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  B  e.  On )
4342, 31jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
441, 43sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  C  /\  Lim  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )
4544anim2i 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  e.  C  /\  Lim  B
)  /\  x  e.  B ) )  -> 
( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
4645anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) ) )
47 omcl 6530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
48 eloni 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  Ord  ( A  .o  x
) )
49 ordsucelsuc 4612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  ( A  .o  x
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e. 
suc  ( A  .o  x ) ) )
51 oa1suc 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  =  suc  ( A  .o  x ) )
5251eleq2d 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  ( suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o )  <->  suc  y  e.  suc  ( A  .o  x
) ) )
5350, 52bitr4d 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  .o  x )  e.  On  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o ) ) )
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x )  <->  suc  y  e.  (
( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
5554adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  <->  suc  y  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) ) )
56 eloni 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
57 ordgt0ge1 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  A  <->  1o  C_  A
) )
5958adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  1o  C_  A ) )
60 1on 6481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1o  e.  On
61 oaword 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
6260, 61mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( A  .o  x
)  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A 
<->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6347, 62syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( 1o  C_  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6459, 63bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  1o ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
6564biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  (
( A  .o  x
)  +o  A ) )
66 omsuc 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
6865, 67sseqtr4d 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  C_  ( A  .o  suc  x ) )
6968sseld 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( suc  y  e.  ( ( A  .o  x )  +o  1o )  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7055, 69sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x ) ) )
71 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  <->  suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7271biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
7370, 72syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7473com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
7574adantlrl 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x ) ) ) )
76 sucelon 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  On  <->  suc  x  e.  On )
77 omord 6561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( B  e. 
suc  x  /\  (/)  e.  A
)  <->  ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
) ) )
78 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  suc  x  /\  (/)  e.  A )  ->  B  e.  suc  x )
7977, 78syl6bir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x
)  ->  B  e.  suc  x ) )
8076, 79syl3an2b 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
81803comr 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  .o  B
)  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
82813expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8382adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( ( A  .o  B )  e.  ( A  .o  suc  x )  ->  B  e.  suc  x ) )
8475, 83syl6d 66 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  x  e.  On ) )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8546, 84sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  x  e.  B )  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8685an32s 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  ( A  .o  x )  -> 
( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) ) )
8786imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  B  e.  suc  x ) )
8841, 87mtod 170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/) 
e.  A )  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  ( A  .o  x ) )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
8988exp31 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) ) )
9089rexlimdv 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x
)  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9190adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  ( E. x  e.  B  y  e.  ( A  .o  x )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) )
9230, 91mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  ( A  .o  B )  =  suc  y )  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)
9392ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  suc  y  ->  -.  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) )
9493pm2.01d 163 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9594adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A
)  /\  y  e.  On )  ->  -.  ( A  .o  B )  =  suc  y )
9695nrexdv 2647 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y )
97 ioran 478 . . 3  |-  ( -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
)  <->  ( -.  ( A  .o  B )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
9820, 96, 97sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( A  .o  B )  =  suc  y ) )
99 dflim3 4637 . 2  |-  ( Lim  ( A  .o  B
)  <->  ( Ord  ( A  .o  B )  /\  -.  ( ( A  .o  B )  =  (/)  \/ 
E. y  e.  On  ( A  .o  B
)  =  suc  y
) ) )
1006, 98, 99sylanbrc 647 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  C  /\  Lim  B ) )  /\  (/)  e.  A )  ->  Lim  ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2545    C_ wss 3153   (/)c0 3456   U_ciun 3906   Ord word 4390   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393  (class class class)co 5819   1oc1o 6467    +o coa 6471    .o comu 6472
This theorem is referenced by:  odi  6572  omass  6573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479
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