Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omllaw4 Unicode version

Theorem omllaw4 29412
Description: Orthomodular law equivalent. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
omllaw4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
omllaw4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
omllaw4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
omllaw4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
omllaw4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )

Proof of Theorem omllaw4
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
2 omlop 29407 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
323ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
4 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
5 omllaw4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 omllaw4.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opoccl 29360 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
83, 4, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
9 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
105, 6opoccl 29360 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
113, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
12 omllaw4.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 eqid 2380 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
14 omllaw4.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
155, 12, 13, 14, 6omllaw 29409 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
161, 8, 11, 15syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  .<_  (  ._|_  `  X
)  ->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
175, 12, 6oplecon3b 29366 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
182, 17syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  (  ._|_  `  Y )  .<_  (  ._|_  `  X ) ) )
19 omllat 29408 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
20193ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
215, 14latmcl 14400 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y )  e.  B
)
2220, 11, 4, 21syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )
235, 6opoccl 29360 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  e.  B
)
243, 22, 23syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B
)
255, 14latmcl 14400 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
)  e.  B )
2620, 24, 4, 25syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B )
275, 6opcon3b 29362 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
283, 26, 9, 27syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) ) ) )
295, 13latjcom 14408 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
) )
3020, 22, 8, 29syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ( join `  K
) (  ._|_  `  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) ) )
31 omlol 29406 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
32313ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
335, 13, 14, 6oldmm2 29384 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )
)  =  ( ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) (
join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
3432, 22, 4, 33syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
( join `  K )
(  ._|_  `  Y )
) )
355, 6opococ 29361 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
363, 4, 35syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
3736oveq2d 6029 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) )
3837oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  ./\  Y ) ) )
3930, 34, 383eqtr4d 2422 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  ./\  Y
) )  ./\  Y
) )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) )
4039eqeq2d 2391 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  =  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y ) )  <->  (  ._|_  `  X )  =  ( (  ._|_  `  Y ) ( join `  K
) ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) ) ) ) )
4128, 40bitrd 245 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)  ./\  Y )  =  X  <->  (  ._|_  `  X
)  =  ( ( 
._|_  `  Y ) (
join `  K )
( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) ) )
4216, 18, 413imtr4d 260 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  -> 
( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  Y ) )  ./\  Y )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   lecple 13456   occoc 13457   joincjn 14321   meetcmee 14322   Latclat 14394   OPcops 29338   OLcol 29340   OMLcoml 29341
This theorem is referenced by:  poml4N  30118  dihoml4c  31542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-poset 14323  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-lat 14395  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345
  Copyright terms: Public domain W3C validator