Theorem omlsi 9240

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
omlsi.1	|- A e. CH
omlsi.2	|- B e. SH
omlsi.3	|- A (_ B
omlsi.4	|- (B i^i (_|_` A)) = 0H

Assertion

Ref	Expression
omlsi	|- A = B

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsi.3	. 2 |- A (_ B
2		omlsi.2	. . . . . 6 |- B e. SH
3	2	shel 9077	. . . . 5 |- (x e. B -> x e. H~)
4		omlsi.1	. . . . . 6 |- A e. CH
5		pjtht 9229	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ x e. H~) -> E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z))
6	4, 5	mpan 697	. . . . 5 |- (x e. H~ -> E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z))
7	3, 6	syl 10	. . . 4 |- (x e. B -> E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z))
8		eqeq1 1484	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. B, x, 0h) -> (x = (y +h z) <-> if(x e. B, x, 0h) = (y +h z)))
9		eleq1 1537	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. B, x, 0h) -> (x e. A <-> if(x e. B, x, 0h) e. A))
10	8, 9	imbi12d 628	. . . . . . . 8 |- (x = if(x e. B, x, 0h) -> ((x = (y +h z) -> x e. A) <-> (if(x e. B, x, 0h) = (y +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)))
11		opreq1 3974	. . . . . . . . . 10 |- (y = if(y e. A, y, 0h) -> (y +h z) = (if(y e. A, y, 0h) +h z))
12	11	eqeq2d 1489	. . . . . . . . 9 |- (y = if(y e. A, y, 0h) -> (if(x e. B, x, 0h) = (y +h z) <-> if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z)))
13	12	imbi1d 615	. . . . . . . 8 |- (y = if(y e. A, y, 0h) -> ((if(x e. B, x, 0h) = (y +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A) <-> (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)))
14		opreq2 3975	. . . . . . . . . 10 |- (z = if(z e. (_|_` A), z, 0h) -> (if(y e. A, y, 0h) +h z) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h)))
15	14	eqeq2d 1489	. . . . . . . . 9 |- (z = if(z e. (_|_` A), z, 0h) -> (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z) <-> if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h))))
16	15	imbi1d 615	. . . . . . . 8 |- (z = if(z e. (_|_` A), z, 0h) -> ((if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A) <-> (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h)) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)))
17	4	chshi 9092	. . . . . . . . 9 |- A e. SH
18		omlsi.4	. . . . . . . . 9 |- (B i^i (_|_` A)) = 0H
19		sh0 9079	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. SH -> 0h e. B)
20	2, 19	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0h e. B
21	20	elimel 2398	. . . . . . . . 9 |- if(x e. B, x, 0h) e. B
22		ch0 9093	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CH -> 0h e. A)
23	4, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0h e. A
24	23	elimel 2398	. . . . . . . . 9 |- if(y e. A, y, 0h) e. A
25		shocsh 9152	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. SH -> (_|_` A) e. SH)
26	17, 25	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (_|_` A) e. SH
27		sh0 9079	. . . . . . . . . . 11 |- ((_|_` A) e. SH -> 0h e. (_|_` A))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0h e. (_|_` A)
29	28	elimel 2398	. . . . . . . . 9 |- if(z e. (_|_` A), z, 0h) e. (_|_` A)
30	17, 2, 1, 18, 21, 24, 29	omlsilem 9239	. . . . . . . 8 |- (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h)) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)
31	10, 13, 16, 30	dedth3h 2392	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ y e. A /\ z e. (_|_` A)) -> (x = (y +h z) -> x e. A))
32	31	3expia 837	. . . . . 6 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (z e. (_|_` A) -> (x = (y +h z) -> x e. A)))
33	32	r19.23adv 1749	. . . . 5 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (E.z e. (_|_` A)x = (y +h z) -> x e. A))
34	33	r19.23adva 1750	. . . 4 |- (x e. B -> (E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z) -> x e. A))
35	7, 34	mpd 26	. . 3 |- (x e. B -> x e. A)
36	35	ssriv 2072	. 2 |- B (_ A
37	1, 36	eqssi 2081	1 |- A = B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wrex 1649   i^i cin 2049   (_ wss 2050  ifcif 2365  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  H~chil 8783   +h cva 8784  0hc0v 8786  SHcsh 8792  CHcch 8793  _|_cort 8794  0Hc0h 8799

This theorem is referenced by:  omls 9241  ococ 9242  qlaxr3 9572  hatomistic 10284

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120

Copyright terms: Public domain