Theorem omlsilem 9159

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	|- G e. SH
omlsilem.2	|- H e. SH
omlsilem.3	|- G (_ H
omlsilem.4	|- (H i^i (_|_` G)) = 0H
omlsilem.5	|- A e. H
omlsilem.6	|- B e. G
omlsilem.7	|- C e. (_|_` G)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	|- (A = (B +h C) -> A e. G)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 |- H e. SH
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 |- A e. H
3	1, 2	sheli 9004	. . . . . . . . 9 |- A e. H~
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 |- G e. SH
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 |- B e. G
6	4, 5	sheli 9004	. . . . . . . . 9 |- B e. H~
7		shocss 9075	. . . . . . . . . . 11 |- (G e. SH -> (_|_` G) (_ H~)
8	4, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` G) (_ H~
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 |- C e. (_|_` G)
10	8, 9	sselii 2056	. . . . . . . . 9 |- C e. H~
11	3, 6, 10	hvsubadd 8854	. . . . . . . 8 |- ((A -h B) = C <-> (B +h C) = A)
12		eqcom 1469	. . . . . . . 8 |- ((B +h C) = A <-> A = (B +h C))
13	11, 12	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((A -h B) = C <-> A = (B +h C))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 |- G (_ H
15	14, 5	sselii 2056	. . . . . . . . 9 |- B e. H
16		shsubcltOLD 9011	. . . . . . . . . 10 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H))
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H)
18	2, 15, 17	mp2an 695	. . . . . . . 8 |- (A -h B) e. H
19		eleq1 1526	. . . . . . . 8 |- ((A -h B) = C -> ((A -h B) e. H <-> C e. H))
20	18, 19	mpbii 193	. . . . . . 7 |- ((A -h B) = C -> C e. H)
21	13, 20	sylbir 201	. . . . . 6 |- (A = (B +h C) -> C e. H)
22		omlsilem.4	. . . . . . . . . 10 |- (H i^i (_|_` G)) = 0H
23	22	eleq2i 1530	. . . . . . . . 9 |- (C e. (H i^i (_|_` G)) <-> C e. 0H)
24		elin 2197	. . . . . . . . 9 |- (C e. (H i^i (_|_` G)) <-> (C e. H /\ C e. (_|_` G)))
25		elch0 9047	. . . . . . . . 9 |- (C e. 0H <-> C = 0h)
26	23, 24, 25	3bitr3 181	. . . . . . . 8 |- ((C e. H /\ C e. (_|_` G)) <-> C = 0h)
27	26	biimp 151	. . . . . . 7 |- ((C e. H /\ C e. (_|_` G)) -> C = 0h)
28	9, 27	mpan2 694	. . . . . 6 |- (C e. H -> C = 0h)
29	21, 28	syl 10	. . . . 5 |- (A = (B +h C) -> C = 0h)
30	29	opreq2d 3961	. . . 4 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) = (B +h 0h))
31		ax-hvaddid 8795	. . . . 5 |- (B e. H~ -> (B +h 0h) = B)
32	6, 31	ax-mp 7	. . . 4 |- (B +h 0h) = B
33	30, 32	syl6eq 1515	. . 3 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) = B)
34	33, 5	syl6eqel 1548	. 2 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) e. G)
35		eleq1 1526	. 2 |- (A = (B +h C) -> (A e. G <-> (B +h C) e. G))
36	34, 35	mpbird 196	1 |- (A = (B +h C) -> A e. G)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   i^i cin 2036   (_ wss 2037  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730   -h cmv 8731  SHcsh 8736  _|_cort 8738  0Hc0h 8743

This theorem is referenced by:  omlsi 9160

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his2 8871  ax-his3 8872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-hvsub 8779  df-sh 8997  df-oc 9045  df-ch0 9046

Copyright terms: Public domain