Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthi Structured version   Unicode version

Theorem omopthi 6892
 Description: An ordered pair theorem for . Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. This proof is adapted from nn0opthi 11555. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopth.1
omopth.2
omopth.3
omopth.4
Assertion
Ref Expression
omopthi

Proof of Theorem omopthi
StepHypRef Expression
1 omopth.1 . . . . . . . . . . . . 13
2 omopth.2 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2nnacli 6849 . . . . . . . . . . . 12
43nnoni 4844 . . . . . . . . . . 11
54onordi 4678 . . . . . . . . . 10
6 omopth.3 . . . . . . . . . . . . 13
7 omopth.4 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7nnacli 6849 . . . . . . . . . . . 12
98nnoni 4844 . . . . . . . . . . 11
109onordi 4678 . . . . . . . . . 10
11 ordtri3 4609 . . . . . . . . . 10
125, 10, 11mp2an 654 . . . . . . . . 9
1312con2bii 323 . . . . . . . 8
141, 2, 8, 7omopthlem2 6891 . . . . . . . . . 10
15 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10
1614, 15sylnib 296 . . . . . . . . 9
176, 7, 3, 2omopthlem2 6891 . . . . . . . . 9
1816, 17jaoi 369 . . . . . . . 8
1913, 18sylbir 205 . . . . . . 7
2019con4i 124 . . . . . 6
21 id 20 . . . . . . . . 9
2220, 20oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
2421, 23eqtr4d 2470 . . . . . . . 8
253, 3nnmcli 6850 . . . . . . . . 9
26 nnacan 6863 . . . . . . . . 9
2725, 2, 7, 26mp3an 1279 . . . . . . . 8
2824, 27sylib 189 . . . . . . 7
2928oveq2d 6089 . . . . . 6
3020, 29eqtr4d 2470 . . . . 5
31 nnacom 6852 . . . . . 6
322, 1, 31mp2an 654 . . . . 5
33 nnacom 6852 . . . . . 6
342, 6, 33mp2an 654 . . . . 5
3530, 32, 343eqtr4g 2492 . . . 4
36 nnacan 6863 . . . . 5
372, 1, 6, 36mp3an 1279 . . . 4
3835, 37sylib 189 . . 3
3938, 28jca 519 . 2
40 oveq12 6082 . . . 4
4140, 40oveq12d 6091 . . 3
42 simpr 448 . . 3
4341, 42oveq12d 6091 . 2
4439, 43impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   word 4572  com 4837  (class class class)co 6073   coa 6713   comu 6714 This theorem is referenced by:  omopth  6893 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721
 Copyright terms: Public domain W3C validator