Theorem omord 4199

Description: Ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
omord	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Proof of Theorem omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omord2 4198	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
2	1	ex 373	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
3	2	pm5.32rd 648	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
4		pm3.26 319	. . 3 |- (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) -> (C .o A) e. (C .o B))
5		opreq1 3968	. . . . . . . . . . 11 |- (C = (/) -> (C .o B) = ((/) .o B))
6	5	eqeq1d 1483	. . . . . . . . . 10 |- (C = (/) -> ((C .o B) = (/) <-> ((/) .o B) = (/)))
7		om0r 4174	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) .o B) = (/))
8	6, 7	syl5cbir 211	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> (C = (/) -> (C .o B) = (/)))
9	8	necon3d 1604	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> ((C .o B) =/= (/) -> C =/= (/)))
10		ne0i 2286	. . . . . . . 8 |- ((C .o A) e. (C .o B) -> (C .o B) =/= (/))
11	9, 10	syl5 21	. . . . . . 7 |- (B e. On -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
12	11	adantr 389	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
13		on0eln0 3024	. . . . . . 7 |- (C e. On -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
14	13	adantl 388	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
15	12, 14	sylibrd 204	. . . . 5 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
16	15	3adant1 797	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
17	16	ancld 298	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
18	4, 17	impbid2 518	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
19	3, 18	bitrd 528	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280  Oncon0 2948  (class class class)co 3963   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  omlimcl 4209  oneo 4212  nnmord 4247

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain