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Theorem omordi 6518
Description: Ordering property of ordinal multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordi  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem omordi
StepHypRef Expression
1 onelon 4375 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21ex 425 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  On ) )
3 eleq2 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (/) ) )
4 oveq2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  (/) ) )
54eleq2d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
63, 5imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  e.  x  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  (/) ) ) ) )
7 eleq2 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
8 oveq2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  y
) )
98eleq2d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )
107, 9imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )
11 eleq2 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  e.  x  <->  A  e.  suc  y ) )
12 oveq2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  .o  x
)  =  ( C  .o  suc  y ) )
1312eleq2d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  suc  y ) ) )
1411, 13imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) )
15 eleq2 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
16 oveq2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  B
) )
1716eleq2d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
1815, 17imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
19 noel 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  A  e.  (/)
2019pm2.21i 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) )
2120a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
22 elsuci 4416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
23 omcl 6489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  .o  y
)  e.  On )
24 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  C  e.  On )
2523, 24jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On ) )
26 oaword1 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( C  .o  y
)  C_  ( ( C  .o  y )  +o  C ) )
2726sseld 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
2827imim2d 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) ) )
2928imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3029adantrl 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
31 oaord1 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3231biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
33 oveq2 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  y
) )
3433eleq1d 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C )  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3532, 34syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3635adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
3730, 36jaod 371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3825, 37sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3922, 38syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
40 omsuc 6479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  .o  suc  y )  =  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
4140eleq2d 2323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4241adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4339, 42sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) )
4443exp43 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  (
y  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4544com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4645adantld 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4746imp3a 422 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) ) ) )
48 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  e.  On  /\  Lim  x ) )
4948ad2ant2r 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( C  e.  On  /\  Lim  x
) )
50 limsuc 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
5150biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  suc  A  e.  x )
52 oveq2 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  .o  y
)  =  ( C  .o  suc  A ) )
5352ssiun2s 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( C  .o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
5451, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y
) )
5554adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
56 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
57 omlim 6486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( C  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
5856, 57mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  .o  y
) )
5958adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( C  .o  y ) )
6055, 59sseqtr4d 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\ 
Lim  x )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A )  C_  ( C  .o  x ) )
6149, 60sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  x ) )
62 omcl 6489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  .o  A
)  e.  On )
63 oaord1 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6462, 63sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6564anabss1 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A )  +o  C ) ) )
6665biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  A
)  +o  C ) )
67 omsuc 6479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  .o  suc  A )  =  ( ( C  .o  A )  +o  C ) )
6867adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  suc  A )  =  ( ( C  .o  A
)  +o  C ) )
6966, 68eleqtrrd 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A
) )
7069adantrl 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C ) )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A
) )
7170adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  A ) )
7261, 71sseldd 3142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  ( Lim  x  /\  (/)  e.  C
) )  /\  A  e.  x )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) )
7372exp53 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( Lim  x  ->  ( (/) 
e.  C  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) ) )
7473com13 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) ) )
7574imp4c 577 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) )
7675a1dd 44 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y
) )  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) ) ) ) )
776, 10, 14, 18, 21, 47, 76tfinds3 4613 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
) ) ) )
7877com23 74 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
7978exp4a 592 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8079exp4a 592 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
812, 80mpdd 38 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8281com34 79 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8382com24 83 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8483imp31 423 1  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   (/)c0 3416   U_ciun 3865   Oncon0 4350   Lim wlim 4351   suc csuc 4352  (class class class)co 5778    +o coa 6430    .o comu 6431
This theorem is referenced by:  omord2  6519  omcan  6521  odi  6531  omass  6532  oen0  6538  oeordi  6539  oeordsuc  6546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-oadd 6437  df-omul 6438
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