MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omordlim Unicode version

Theorem omordlim 6543
Description: Ordering involving the product of a limit ordinal. Proposition 8.23 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordlim  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  /\  C  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem omordlim
StepHypRef Expression
1 omlim 6500 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( A  .o  B )  =  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) )
21eleq2d 2325 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( C  e.  ( A  .o  B
)  <->  C  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x ) ) )
3 eliun 3883 . . 3  |-  ( C  e.  U_ x  e.  B  ( A  .o  x )  <->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
42, 3syl6bb 254 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  ->  ( C  e.  ( A  .o  B
)  <->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x ) ) )
54biimpa 472 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  D  /\  Lim  B ) )  /\  C  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E. x  e.  B  C  e.  ( A  .o  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   E.wrex 2519   U_ciun 3879   Oncon0 4364   Lim wlim 4365  (class class class)co 5792    .o comu 6445
This theorem is referenced by:  odi  6545  omass  6546  oaabs2  6611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-omul 6452
  Copyright terms: Public domain W3C validator