Theorem omsdomnn 4515

Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. Here we use A ~<_ om /\ -. om ~~ A instead of A ~< om because, due to a peculiarity ultimately caused our ordered pair definition, we would need the Axiom of infinity (which we have avoided up to now) in order to prove the latter.

Assertion

Ref	Expression
omsdomnn	|- (A e. om -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))

Proof of Theorem omsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 3136	. . . 4 |- Ord om
2		ordelss 2959	. . . 4 |- ((Ord om /\ A e. om) -> A (_ om)
3	1, 2	mpan 694	. . 3 |- (A e. om -> A (_ om)
4		ssdomg 4395	. . 3 |- (A e. om -> (A (_ om -> A ~<_ om))
5	3, 4	mpd 26	. 2 |- (A e. om -> A ~<_ om)
6		breq2 2618	. . . 4 |- (x = A -> (om ~~ x <-> om ~~ A))
7	6	negbid 610	. . 3 |- (x = A -> (-. om ~~ x <-> -. om ~~ A))
8		ominf 4514	. . . 4 |- -. E.x e. om om ~~ x
9		ralnex 1650	. . . 4 |- (A.x e. om -. om ~~ x <-> -. E.x e. om om ~~ x)
10	8, 9	mpbir 190	. . 3 |- A.x e. om -. om ~~ x
11	7, 10	vtoclri 1855	. 2 |- (A e. om -> -. om ~~ A)
12	5, 11	jca 288	1 |- (A e. om -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  Ord word 2942  omcom 3126   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  isfinite1 4516  infsdomnn 4517  nnsdom 4615  infunabs 7516  infcdaabs 7517

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359

Copyright terms: Public domain