Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsinds Structured version   Unicode version

Theorem omsinds 25529
Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
omsinds.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
omsinds.3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
omsinds  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Distinct variable groups:    x, A    ch, x    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    A( y)

Proof of Theorem omsinds
StepHypRef Expression
1 omsson 4884 . . 3  |-  om  C_  On
2 epweon 4799 . . 3  |-  _E  We  On
3 wess 4604 . . 3  |-  ( om  C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  om ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  _E  We  om
5 epse 4600 . 2  |-  _E Se  om
6 omsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
7 omsinds.2 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
8 predep 25502 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  ( om 
i^i  x ) )
9 ordom 4889 . . . . . . 7  |-  Ord  om
10 ordtr 4630 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
11 trss 4342 . . . . . . 7  |-  ( Tr 
om  ->  ( x  e. 
om  ->  x  C_  om )
)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  C_ 
om )
13 dfss1 3534 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  om  <->  ( om  i^i  x )  =  x )
1412, 13sylib 190 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  ( om  i^i  x )  =  x )
158, 14eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  x )
1615raleqdv 2917 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  <->  A. y  e.  x  ps )
)
17 omsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
1816, 17sylbid 208 . 2  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  ->  ph ) )
194, 5, 6, 7, 18wfis3 25525 1  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712    i^i cin 3308    C_ wss 3309   Tr wtr 4333    _E cep 4527    We wwe 4575   Ord word 4615   Oncon0 4616   omcom 4880   Predcpred 25473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-br 4244  df-opab 4298  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-pred 25474
  Copyright terms: Public domain W3C validator