Theorem omsmo 4257

Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
omsmo	|- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> F:om-1-1->A)

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem omsmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 413	. . 3 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> F:om-->A)
2		omsmolem 4256	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. z -> (F` y) e. (F` z))))
3	2	adantl 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. z -> (F` y) e. (F` z))))
4	3	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. om /\ z e. om) /\ ((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x))) -> (y e. z -> (F` y) e. (F` z)))
5		omsmolem 4256	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))
7	6	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. om /\ z e. om) /\ ((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x))) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y)))
8	4, 7	orim12d 565	. . . . . . . . 9 |- (((y e. om /\ z e. om) /\ ((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x))) -> ((y e. z \/ z e. y) -> ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
9	8	ancoms 436	. . . . . . . 8 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((y e. z \/ z e. y) -> ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
10	9	con3d 95	. . . . . . 7 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> (-. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y)) -> -. (y e. z \/ z e. y)))
11		ssel 2063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A (_ On -> ((F` y) e. A -> (F` y) e. On))
12		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:om-->A /\ y e. om) -> (F` y) e. A)
13	11, 12	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ On -> ((F:om-->A /\ y e. om) -> (F` y) e. On))
14	13	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A (_ On -> (F:om-->A -> (y e. om -> (F` y) e. On)))
15	14	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ On /\ F:om-->A) -> (y e. om -> (F` y) e. On))
16		eloni 2958	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` y) e. On -> Ord (F` y))
17	15, 16	syl6 22	. . . . . . . . . . 11 |- ((A (_ On /\ F:om-->A) -> (y e. om -> Ord (F` y)))
18		ssel 2063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A (_ On -> ((F` z) e. A -> (F` z) e. On))
19		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:om-->A /\ z e. om) -> (F` z) e. A)
20	18, 19	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ On -> ((F:om-->A /\ z e. om) -> (F` z) e. On))
21	20	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A (_ On -> (F:om-->A -> (z e. om -> (F` z) e. On)))
22	21	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A (_ On /\ F:om-->A) -> (z e. om -> (F` z) e. On))
23		eloni 2958	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` z) e. On -> Ord (F` z))
24	22, 23	syl6 22	. . . . . . . . . . 11 |- ((A (_ On /\ F:om-->A) -> (z e. om -> Ord (F` z)))
25	17, 24	anim12d 558	. . . . . . . . . 10 |- ((A (_ On /\ F:om-->A) -> ((y e. om /\ z e. om) -> (Ord (F` y) /\ Ord (F` z))))
26	25	imp 350	. . . . . . . . 9 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> (Ord (F` y) /\ Ord (F` z)))
27		ordtri3 2983	. . . . . . . . 9 |- ((Ord (F` y) /\ Ord (F` z)) -> ((F` y) = (F` z) <-> -. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . 8 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((F` y) = (F` z) <-> -. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
29	28	adantlr 393	. . . . . . 7 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((F` y) = (F` z) <-> -. ((F` y) e. (F` z) \/ (F` z) e. (F` y))))
30		ordtri3 2983	. . . . . . . . 9 |- ((Ord y /\ Ord z) -> (y = z <-> -. (y e. z \/ z e. y)))
31		nnord 3140	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> Ord y)
32		nnord 3140	. . . . . . . . 9 |- (z e. om -> Ord z)
33	30, 31, 32	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (y = z <-> -. (y e. z \/ z e. y)))
34	33	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> (y = z <-> -. (y e. z \/ z e. y)))
35	10, 29, 34	3imtr4d 543	. . . . . 6 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ (y e. om /\ z e. om)) -> ((F` y) = (F` z) -> y = z))
36	35	exp32 377	. . . . 5 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. om -> (z e. om -> ((F` y) = (F` z) -> y = z))))
37	36	r19.21adv 1718	. . . 4 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (y e. om -> A.z e. om ((F` y) = (F` z) -> y = z)))
38	37	r19.21aiv 1713	. . 3 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> A.y e. om A.z e. om ((F` y) = (F` z) -> y = z))
39	1, 38	jca 288	. 2 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (F:om-->A /\ A.y e. om A.z e. om ((F` y) = (F` z) -> y = z)))
40		f1fv 3874	. 2 |- (F:om-1-1->A <-> (F:om-->A /\ A.y e. om A.z e. om ((F` y) = (F` z) -> y = z)))
41	39, 40	sylibr 200	1 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> F:om-1-1->A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  Ord word 2947  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  unblem4 4543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain