MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omssnlim Unicode version

Theorem omssnlim 4607
Description: The class of natural numbers is a subclass of the class of non-limit ordinal numbers. Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
omssnlim  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }

Proof of Theorem omssnlim
StepHypRef Expression
1 omsson 4597 . 2  |-  om  C_  On
2 nnlim 4606 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  -.  Lim  x )
32rgen 2579 . 2  |-  A. x  e.  om  -.  Lim  x
4 ssrab 3193 . 2  |-  ( om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  C_  On  /\  A. x  e.  om  -.  Lim  x ) )
51, 3, 4mpbir2an 891 1  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5   A.wral 2516   {crab 2519    C_ wss 3094   Oncon0 4329   Lim wlim 4330   omcom 4593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594
  Copyright terms: Public domain W3C validator