Theorem omssnlim 3135

Description: The class of natural numbers is a subclass of the class of non-limit ordinal numbers. Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
omssnlim	|- om (_ {x e. On | -. Lim x}

Proof of Theorem omssnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnont 3128	. . . 4 |- (y e. om -> y e. On)
2		nnlim 3134	. . . 4 |- (y e. om -> -. Lim y)
3	1, 2	jca 288	. . 3 |- (y e. om -> (y e. On /\ -. Lim y))
4		limeq 2950	. . . . 5 |- (x = y -> (Lim x <-> Lim y))
5	4	negbid 609	. . . 4 |- (x = y -> (-. Lim x <-> -. Lim y))
6	5	elrab 1896	. . 3 |- (y e. {x e. On | -. Lim x} <-> (y e. On /\ -. Lim y))
7	3, 6	sylibr 200	. 2 |- (y e. om -> y e. {x e. On | -. Lim x})
8	7	ssriv 2059	1 |- om (_ {x e. On | -. Lim x}

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640   (_ wss 2037  Oncon0 2938  Lim wlim 2939  omcom 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-om 3122

Copyright terms: Public domain