MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omssnlim Unicode version

Theorem omssnlim 4792
Description: The class of natural numbers is a subclass of the class of non-limit ordinal numbers. Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
omssnlim  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }

Proof of Theorem omssnlim
StepHypRef Expression
1 omsson 4782 . 2  |-  om  C_  On
2 nnlim 4791 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  -.  Lim  x )
32rgen 2707 . 2  |-  A. x  e.  om  -.  Lim  x
4 ssrab 3357 . 2  |-  ( om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  C_  On  /\  A. x  e.  om  -.  Lim  x ) )
51, 3, 4mpbir2an 887 1  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   A.wral 2642   {crab 2646    C_ wss 3256   Oncon0 4515   Lim wlim 4516   omcom 4778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779
  Copyright terms: Public domain W3C validator