Theorem omsuc 4165

Description: Multiplication with successor. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
omsuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o suc B) = ((A .o B) +o A))

Proof of Theorem omsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3945	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
2	1	adantl 388	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
3		omv 4151	. . 3 |- ((A e. On /\ suc B e. On) -> (A .o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B))
4		suceloni 3062	. . 3 |- (B e. On -> suc B e. On)
5	3, 4	sylan2 451	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B))
6		omv 4151	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))
7	6	fveq2d 3728	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (A .o B)) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
8		oprex 3983	. . . 4 |- (A .o B) e. V
9		oprex 3983	. . . 4 |- ((A .o B) +o A) e. V
10		opreq1 3968	. . . 4 |- (x = (A .o B) -> (x +o A) = ((A .o B) +o A))
11	8, 9, 10	fvopab 3790	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (A .o B)) = ((A .o B) +o A)
12	7, 11	syl5eqr 1521	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) +o A) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
13	2, 5, 12	3eqtr4d 1517	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o suc B) = ((A .o B) +o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280  {copab 2666  Oncon0 2948  suc csuc 2950  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963   +o coa 4130   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  omcl 4171  om0r 4174  om1 4176  om1r 4177  omordi 4197  omwordri 4203  omlimcl 4209  odi 4210  omass 4211  oneo 4212  nnmsuc 4226

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain