Theorem omv 4135

Description: Value of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omv	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem omv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3717	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B) e. V
2		opreq2 3954	. . . . 5 |- (w = A -> (x +o w) = (x +o A))
3	2	eqeq2d 1478	. . . 4 |- (w = A -> (y = (x +o w) <-> y = (x +o A)))
4	3	opabbidv 2660	. . 3 |- (w = A -> {<.x, y>. | y = (x +o w)} = {<.x, y>. | y = (x +o A)})
5		rdgeq1 3919	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = (x +o w)} = {<.x, y>. | y = (x +o A)} -> rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/)) = rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/)))
6		fveq1 3708	. . 3 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/)) = rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/)) -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v))
7	4, 5, 6	3syl 20	. 2 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v))
8		fveq2 3709	. 2 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))
9		df-omul 4120	. 2 |- .o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v))}
10	1, 7, 8, 9	oprabval2 4013	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (/)c0 2270  {copab 2656  Oncon0 2938  ` cfv 3172  reccrdg 3916  (class class class)co 3948   +o coa 4114   .o comu 4115

This theorem is referenced by:  om0 4140  omsuc 4149  omlim 4152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain