Theorem omwordi 4186

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omwordi	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B)))

Proof of Theorem omwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omword 4185	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A (_ B <-> (C .o A) (_ (C .o B)))
2	1	biimpd 153	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B)))
3	2	ex 373	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B))))
4		eloni 2948	. . . . . 6 |- (C e. On -> Ord C)
5		ord0eln0 3013	. . . . . . 7 |- (Ord C -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
6	5	necon2bbid 1615	. . . . . 6 |- (Ord C -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
7	4, 6	syl 10	. . . . 5 |- (C e. On -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
8	7	3ad2ant3 800	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
9		opreq1 3953	. . . . . . 7 |- (C = (/) -> (C .o A) = ((/) .o A))
10		opreq1 3953	. . . . . . 7 |- (C = (/) -> (C .o B) = ((/) .o B))
11	9, 10	sseq12d 2080	. . . . . 6 |- (C = (/) -> ((C .o A) (_ (C .o B) <-> ((/) .o A) (_ ((/) .o B)))
12		ssid 2070	. . . . . . 7 |- (/) (_ (/)
13		om0r 4158	. . . . . . . . 9 |- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))
14	13	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o A) = (/))
15		om0r 4158	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> ((/) .o B) = (/))
16	15	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o B) = (/))
17	14, 16	sseq12d 2080	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) .o A) (_ ((/) .o B) <-> (/) (_ (/)))
18	12, 17	mpbiri 194	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o A) (_ ((/) .o B))
19	11, 18	syl5cbir 211	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (C = (/) -> (C .o A) (_ (C .o B)))
20	19	3adant3 797	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (C = (/) -> (C .o A) (_ (C .o B)))
21	8, 20	sylbird 205	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (-. (/) e. C -> (C .o A) (_ (C .o B)))
22	21	a1dd 42	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (-. (/) e. C -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B))))
23	3, 22	pm2.61d 127	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037  (/)c0 2270  Ord word 2937  Oncon0 2938  (class class class)co 3948   .o comu 4115

This theorem is referenced by:  omword1 4188  omass 4195  oewordri 4203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain