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Theorem omwordri 6565
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.21 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordri  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem omwordri
StepHypRef Expression
1 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
2 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x ) 
C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  (/) )  C_  ( B  .o  (/) ) ) )
4 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
5 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
64, 5sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y ) ) )
7 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
8 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  suc  y )  C_  ( B  .o  suc  y
) ) )
10 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  C
) )
11 oveq2 5827 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1210, 11sseq12d 3208 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C ) ) )
13 0ss 3484 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  ( B  .o  (/) )
14 om0 6511 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
1514sseq1d 3206 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  .o  (/) )  C_  ( B  .o  (/) )  <->  (/)  C_  ( B  .o  (/) ) ) )
1613, 15mpbiri 226 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  C_  ( B  .o  (/) ) )
1716ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A  .o  (/) )  C_  ( B  .o  (/) ) )
18 omcl 6530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  y
)  e.  On )
19183adant2 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  y )  e.  On )
20 omcl 6530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
21203adant1 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y )  e.  On )
22 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
23 oawordri 6543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y )  -> 
( ( A  .o  y )  +o  A
)  C_  ( ( B  .o  y )  +o  A ) ) )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  (
( A  .o  y
)  +o  A ) 
C_  ( ( B  .o  y )  +o  A ) ) )
2524imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  y )  +o  A
)  C_  ( ( B  .o  y )  +o  A ) )
2625adantrl 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  A ) )
27 oaword 6542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( B  .o  y )  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2821, 27syld3an3 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2928biimpa 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )
3029adantrr 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )
3126, 30sstrd 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )
32 omsuc 6520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
33323adant2 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  A ) )
3433adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
35 omsuc 6520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
36353adant1 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
3736adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
3831, 34, 373sstr4d 3222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( A  .o  suc  y )  C_  ( B  .o  suc  y ) )
3938exp520 1174 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  suc  y ) 
C_  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4039com3r 75 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  suc  y ) 
C_  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4140imp4c 576 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  suc  y ) 
C_  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
42 vex 2792 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
43 ss2iun 3921 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
44 omlim 6527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  y ) )
4544ad2ant2rl 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( A  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  y ) )
46 omlim 6527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
4746adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( B  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
4845, 47sseq12d 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x
)  <->  U_ y  e.  x  ( A  .o  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) ) )
4943, 48syl5ibr 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x ) ) )
5049anandirs 806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x ) ) )
5142, 50mpanr1 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x ) ) )
5251expcom 426 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x
) ) ) )
5352adantrd 456 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x ) ) ) )
543, 6, 9, 12, 17, 41, 53tfinds3 4654 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
5554exp3a 427 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C ) ) ) )
56553impib 1151 . 2  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
57563coml 1160 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   U_ciun 3906   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393  (class class class)co 5819    +o coa 6471    .o comu 6472
This theorem is referenced by:  omword2  6567  oewordri  6585  oeordsuc  6587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-oadd 6478  df-omul 6479
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