Theorem onelon 2967

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469.

Assertion

Ref	Expression
onelon	|- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 2966	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		eloni 2953	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3	1, 2	sylan 448	1 |- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956  Ord word 2942  Oncon0 2943

This theorem is referenced by:  onminex 3015  unon 3083  onel 3093  dfom2 3128  tfindsg2 3158  tz7.48-2 3948  tz7.49 3950  oalim 4157  omlim 4158  oelim 4159  oaordi 4170  oalimcl 4184  oaass 4185  omordi 4187  omlimcl 4199  odi 4200  omass 4201  oewordri 4209  oeordsuc 4211  r1ord 4635  r1val1 4638  r1val3 4659  r1pwcl 4667  zorn2lem5 4772  zorn2lem6 4773  iscard 4833  ondomon 4836  cardmin 4840  alephordi 4854  alephord2i 4857  alephle 4864  cardaleph 4865  alephval2 4882  cfub 4888

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947

Copyright terms: Public domain