Theorem onelon 3000

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469.

Assertion

Ref	Expression
onelon	|- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 2999	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		eloni 2985	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3	1, 2	sylan 450	1 |- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994  Ord word 2974  Oncon0 2975

This theorem is referenced by:  oneli 3077  onminex 3164  unon 3185  tfindsg2 3214  dfom2 3220  onfununi 4209  tz7.48-2 4258  tz7.49 4260  oalim 4303  omlim 4304  oelim 4305  oaordi 4316  oalimcl 4330  oaass 4331  omordi 4333  omlimcl 4345  odi 4346  omass 4347  oewordri 4355  oeordsuc 4357  r1ord 4801  r1val1 4804  r1val3 4825  r1pwcl 4833  zorn2lem5 4938  zorn2lem6 4939  iscard 5003  ondomon 5006  cardmin 5010  alephordi 5024  alephord2i 5027  alephle 5034  cardaleph 5035  alephval2 5052  cfub 5058  ordiso 11426  ordtypelem5 11431  ordtypelem6 11432  ordtypelem7 11433  hartog 11436  onsdom 11437  omsubsuc2 11439  omsubindss 11449  infenomsub 11450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979

Copyright terms: Public domain