MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onelon Unicode version

Theorem onelon 4417
Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onelon  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )

Proof of Theorem onelon
StepHypRef Expression
1 eloni 4402 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 ordelon 4416 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
31, 2sylan 457 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   Ord word 4391   Oncon0 4392
This theorem is referenced by:  oneli  4500  ssorduni  4577  unon  4622  tfindsg2  4652  dfom2  4658  ordom  4665  onfununi  6358  onnseq  6361  tz7.48-2  6454  tz7.49  6457  oalim  6531  omlim  6532  oelim  6533  oaordi  6544  oalimcl  6558  oaass  6559  omordi  6564  omlimcl  6576  odi  6577  omass  6578  omeulem1  6580  omeulem2  6581  omopth2  6582  oewordri  6590  oeordsuc  6592  oelimcl  6598  oeeui  6600  oaabs2  6643  omabs  6645  omxpenlem  6963  hartogs  7259  card2on  7268  cantnfle  7372  cantnflt  7373  cantnfp1lem2  7381  cantnfp1lem3  7382  cantnfp1  7383  oemapvali  7386  cantnflem1b  7388  cantnflem1c  7389  cantnflem1d  7390  cantnflem1  7391  cantnflem2  7392  cantnflem3  7393  cantnflem4  7394  cantnf  7395  cnfcomlem  7402  cnfcom3lem  7406  cnfcom3  7407  r1ordg  7450  r1val3  7510  tskwe  7583  iscard  7608  cardmin2  7631  infxpenlem  7641  infxpenc2lem2  7647  alephordi  7701  alephord2i  7704  alephle  7715  cardaleph  7716  cfub  7875  cfsmolem  7896  zorn2lem5  8127  zorn2lem6  8128  ttukeylem6  8141  ttukeylem7  8142  ondomon  8185  cardmin  8186  alephval2  8194  alephreg  8204  smobeth  8208  winainflem  8315  inar1  8397  inatsk  8400  dfrdg2  24152  tfrALTlem  24276  sltval2  24310  sltres  24318  nodenselem5  24339  nodenselem7  24341  nobndlem6  24351  nobndup  24354  dfrdg4  24488  ontopbas  24867  onpsstopbas  24869  onint1  24888  vtarsu  25886  tartarmap  25888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396
  Copyright terms: Public domain W3C validator