MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onelon Unicode version

Theorem onelon 4433
Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onelon  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )

Proof of Theorem onelon
StepHypRef Expression
1 eloni 4418 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 ordelon 4432 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
31, 2sylan 457 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   Ord word 4407   Oncon0 4408
This theorem is referenced by:  oneli  4516  ssorduni  4593  unon  4638  tfindsg2  4668  dfom2  4674  ordom  4681  onfununi  6374  onnseq  6377  tz7.48-2  6470  tz7.49  6473  oalim  6547  omlim  6548  oelim  6549  oaordi  6560  oalimcl  6574  oaass  6575  omordi  6580  omlimcl  6592  odi  6593  omass  6594  omeulem1  6596  omeulem2  6597  omopth2  6598  oewordri  6606  oeordsuc  6608  oelimcl  6614  oeeui  6616  oaabs2  6659  omabs  6661  omxpenlem  6979  hartogs  7275  card2on  7284  cantnfle  7388  cantnflt  7389  cantnfp1lem2  7397  cantnfp1lem3  7398  cantnfp1  7399  oemapvali  7402  cantnflem1b  7404  cantnflem1c  7405  cantnflem1d  7406  cantnflem1  7407  cantnflem2  7408  cantnflem3  7409  cantnflem4  7410  cantnf  7411  cnfcomlem  7418  cnfcom3lem  7422  cnfcom3  7423  r1ordg  7466  r1val3  7526  tskwe  7599  iscard  7624  cardmin2  7647  infxpenlem  7657  infxpenc2lem2  7663  alephordi  7717  alephord2i  7720  alephle  7731  cardaleph  7732  cfub  7891  cfsmolem  7912  zorn2lem5  8143  zorn2lem6  8144  ttukeylem6  8157  ttukeylem7  8158  ondomon  8201  cardmin  8202  alephval2  8210  alephreg  8220  smobeth  8224  winainflem  8331  inar1  8413  inatsk  8416  dfrdg2  24223  tfrALTlem  24347  sltval2  24381  sltres  24389  nodenselem5  24410  nodenselem7  24412  nobndlem6  24422  nobndup  24425  dfrdg4  24560  ontopbas  24939  onpsstopbas  24941  onint1  24960  vtarsu  25989  tartarmap  25991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412
  Copyright terms: Public domain W3C validator