Theorem oneo 4196

Description: If an ordinal number is even, its successor is odd.

Assertion

Ref	Expression
oneo	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. suc C = (2o .o B))

Proof of Theorem oneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onnbtwn 3054	. . 3 |- (A e. On -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
2	1	3ad2ant1 798	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
3		suceq 3024	. . . . 5 |- (C = (2o .o A) -> suc C = suc (2o .o A))
4	3	eqeq1d 1475	. . . 4 |- (C = (2o .o A) -> (suc C = (2o .o B) <-> suc (2o .o A) = (2o .o B)))
5	4	3ad2ant3 800	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc C = (2o .o B) <-> suc (2o .o A) = (2o .o B)))
6		2on 4123	. . . . . . . 8 |- 2o e. On
7		omord 4183	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On /\ 2o e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
8	6, 7	mp3an3 902	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
9		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. B /\ (/) e. 2o) -> A e. B)
10	8, 9	syl6bir 215	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((2o .o A) e. (2o .o B) -> A e. B))
11		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (2o .o A) e. V
12	11	sucid 3041	. . . . . . 7 |- (2o .o A) e. suc (2o .o A)
13		eleq2 1527	. . . . . . 7 |- (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> ((2o .o A) e. suc (2o .o A) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
14	12, 13	mpbii 193	. . . . . 6 |- (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (2o .o A) e. (2o .o B))
15	10, 14	syl5 21	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> A e. B))
16		pm3.27 323	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> suc (2o .o A) = (2o .o B))
17		omcl 4155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2o e. On /\ A e. On) -> (2o .o A) e. On)
18	6, 17	mpan 693	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> (2o .o A) e. On)
19		oa1suc 4148	. . . . . . . . . . . 12 |- ((2o .o A) e. On -> ((2o .o A) +o 1o) = suc (2o .o A))
20	18, 19	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) = suc (2o .o A))
21		1on 4122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. On
22	21	elisseti 1809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. V
23	22	sucid 3041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. suc 1o
24		df-2o 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = suc 1o
25	23, 24	eleqtrr 1539	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
26		oaord 4165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((1o e. On /\ 2o e. On /\ (2o .o A) e. On) -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
27	21, 6, 26	mp3an12 903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2o .o A) e. On -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
28	18, 27	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. On -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
29	25, 28	mpbii 193	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o))
30		omsuc 4149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2o e. On /\ A e. On) -> (2o .o suc A) = ((2o .o A) +o 2o))
31	6, 30	mpan 693	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> (2o .o suc A) = ((2o .o A) +o 2o))
32	29, 31	eleqtrrd 1543	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) e. (2o .o suc A))
33	20, 32	eqeltrrd 1541	. . . . . . . . . 10 |- (A e. On -> suc (2o .o A) e. (2o .o suc A))
34	33	ad2antrr 404	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> suc (2o .o A) e. (2o .o suc A))
35	16, 34	eqeltrrd 1541	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> (2o .o B) e. (2o .o suc A))
36		omord 4183	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. On /\ suc A e. On /\ 2o e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
37	6, 36	mp3an3 902	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. On /\ suc A e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
38		suceloni 3052	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> suc A e. On)
39	37, 38	sylan2 451	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
40	39	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
41	40	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
42	35, 41	mpbird 196	. . . . . . 7 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> (B e. suc A /\ (/) e. 2o))
43	42	pm3.26d 321	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> B e. suc A)
44	43	ex 373	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> B e. suc A))
45	15, 44	jcad 598	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
46	45	3adant3 797	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
47	5, 46	sylbid 203	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc C = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
48	2, 47	mtod 108	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. suc C = (2o .o B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  (/)c0 2270  Oncon0 2938  suc csuc 2940  (class class class)co 3948  1oc1o 4112  2oc2o 4113   +o coa 4114   .o comu 4115

This theorem is referenced by:  nneob 4239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-2o 4118  df-oadd 4119  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain