MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onesuc Unicode version

Theorem onesuc 6524
Description: Exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onesuc  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  B )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  A ) )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem onesuc
StepHypRef Expression
1 limom 4670 . 2  |-  Lim  om
2 frsuc 6444 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o )  |`  om ) `  suc  B )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) `  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o )  |`  om ) `  B ) ) )
3 peano2 4675 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  suc  B  e.  om )
4 fvres 5502 . . . 4  |-  ( suc 
B  e.  om  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o )  |`  om ) `  suc  B )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  suc  B ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o )  |`  om ) `  suc  B )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  suc  B ) )
6 fvres 5502 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o )  |`  om ) `  B
)  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B
) )
76fveq2d 5489 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  (
( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A
) ) `  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o )  |`  om ) `  B
) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A
) ) `  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B
) ) )
82, 5, 73eqtr3d 2324 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  suc  B )  =  ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) `  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B
) ) )
91, 8oesuclem 6519 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  B )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    e. cmpt 4078   Oncon0 4391   suc csuc 4393   omcom 4655    |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   reccrdg 6417   1oc1o 6467    .o comu 6472    ^o coe 6473
This theorem is referenced by:  oe1  6537  nnesuc  6601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-omul 6479  df-oexp 6480
  Copyright terms: Public domain W3C validator