MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfin Unicode version

Theorem onfin 7046
Description: An ordinal number is finite iff it is a natural number. Proposition 10.32 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
onfin  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  e.  om ) )

Proof of Theorem onfin
StepHypRef Expression
1 isfi 6880 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 onomeneq 7045 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  om )  ->  ( A  ~~  x  <->  A  =  x ) )
3 eleq1a 2353 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  =  x  ->  A  e.  om ) )
43adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  om )  ->  ( A  =  x  ->  A  e.  om ) )
52, 4sylbid 208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  om )  ->  ( A  ~~  x  ->  A  e.  om )
)
65rexlimdva 2668 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  e.  om ) )
7 enrefg 6888 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  ~~  A )
8 breq2 4028 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( A  ~~  x  <->  A  ~~  A ) )
98rspcev 2885 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  ~~  A )  ->  E. x  e.  om  A  ~~  x )
107, 9mpdan 652 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
116, 10impbid1 196 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  <->  A  e.  om ) )
121, 11syl5bb 250 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  e.  Fin  <->  A  e.  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   E.wrex 2545   class class class wbr 4024   Oncon0 4391   omcom 4655    ~~ cen 6855   Fincfn 6858
This theorem is referenced by:  onfin2  7047  fin17  8015  isfin7-2  8017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862
  Copyright terms: Public domain W3C validator