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Theorem onfununi 6374
Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
onfununi.1  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
onfununi.2  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
Assertion
Ref Expression
onfununi  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y    x, T
Allowed substitution hint:    T( y)

Proof of Theorem onfununi
StepHypRef Expression
1 ssorduni 4593 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  Ord  U. S )
21ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Ord  U. S
)
3 nelneq 2394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  -.  x  =  U. S )
4 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  S  ->  x  C_ 
U. S )
54adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  x  C_ 
U. S )
6 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  On ) )
7 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
86, 7syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  Ord  x ) )
98imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  U. S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
119, 1, 10syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  /\  S  C_  On )  ->  ( x  C_  U. S  <->  ( x  e. 
U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
1211anabss1 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
135, 12mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) )
1413ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  e.  U. S  ->  x  =  U. S
) )
1514con1d 116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  =  U. S  ->  x  e.  U. S ) )
163, 15syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  x  e.  U. S ) )
1716exp4b 590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  S  -> 
( -.  U. S  e.  S  ->  x  e. 
U. S ) ) ) )
1817pm2.43d 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
1918com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( -. 
U. S  e.  S  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
2019imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S ) )
2120ssrdv 3198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  S  C_  U. S
)
22 ssn0 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  U. S  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
2321, 22sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
24 uniss 3864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. S  ->  U. S  C_ 
U. U. S )
2521, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  C_  U. U. S )
26 orduniss 4503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. S  ->  U. U. S  C_  U. S )
271, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  U. U. S  C_  U. S )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. S )
2925, 28eqssd 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  =  U. U. S )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  = 
U. U. S )
31 df-lim 4413 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. S  <->  ( Ord  U. S  /\  U. S  =/=  (/)  /\  U. S  = 
U. U. S ) )
322, 23, 30, 31syl3anbrc 1136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Lim  U. S
)
3332an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  Lim  U. S
)
34333adantl1 1111 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  Lim  U. S )
35 ssonuni 4594 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  U. S  e.  On ) )
36 limeq 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( Lim  y  <->  Lim  U. S
) )
37 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 U. S ) )
38 iuneq1 3934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  ->  U_ x  e.  y 
( F `  x
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) )
3937, 38eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )  <->  ( F `  U. S
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) ) )
4036, 39imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( Lim  y  ->  ( F `  y
)  =  U_ x  e.  y  ( F `  x ) )  <->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  = 
U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) ) )
41 onfununi.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
4240, 41vtoclg 2856 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4335, 42syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) ) )
4443imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  -> 
( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
45443adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) )
4645adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4734, 46mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) )
48 eluni2 3847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. S  <->  E. y  e.  S  x  e.  y )
49 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  On ) )
5049anim1d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  On  /\  x  e.  y ) ) )
51 onelon 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On )
5250, 51syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On ) )
5349adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  On ) )
54 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
5549, 54syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  Ord  y ) )
56 ordelss 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y ) )
5855, 57syland 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
)
5952, 53, 583jcad 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y ) ) )
60 onfununi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
6159, 60syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
6261exp3a 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  (
x  e.  y  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) ) )
6362reximdvai 2666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( E. y  e.  S  x  e.  y  ->  E. y  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
6448, 63syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  ->  E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y ) ) )
65 ssiun 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y )  ->  ( F `  x )  C_ 
U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6664, 65syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  -> 
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) ) )
6766ralrimiv 2638 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  On  ->  A. x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
68 iunss 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  U. S ( F `  x ) 
C_  U_ y  e.  S  ( F `  y )  <->  A. x  e.  U. S
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6967, 68sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
70 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
7170cbviunv 3957 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  S  ( F `  y )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x )
7269, 71syl6sseq 3237 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
73723ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7473adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `  x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7547, 74eqsstrd 3225 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7675ex 423 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) ) )
77 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( x  =  U. S  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 U. S ) )
7877ssiun2s 3962 . . 3  |-  ( U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S
)  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7976, 78pm2.61d2 152 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S ) 
C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
8035imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  ->  U. S  e.  On )
81803adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  On )
8263ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  e.  On )
)
834a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  C_  U. S ) )
8482, 83jcad 519 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
85 sseq2 3213 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. S  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  U. S ) )
8685anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  <->  ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
8737sseq2d 3219 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  x )  C_  ( F `  y )  <->  ( F `  x ) 
C_  ( F `  U. S ) ) )
8886, 87imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) ) )
89603com12 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
90893expib 1154 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
9188, 90vtoclga 2862 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) )
9281, 84, 91sylsyld 52 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  U. S ) ) )
9392ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
94 iunss 3959 . . 3  |-  ( U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S )  <->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9593, 94sylibr 203 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9679, 95eqssd 3209 1  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   U_ciun 3921   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  onovuni  6375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-iota 5235  df-fv 5279
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