Theorem onomeneq 4507

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	|- ((A e. On /\ B e. om) -> (A ~~ B <-> A = B))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5 4506	. . . . . . . . . 10 |- (B e. om -> -. B ~~ suc B)
2	1	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A ~~ B) -> -. B ~~ suc B)
3		enen1 4466	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A ~~ B) -> (A ~~ suc B <-> B ~~ suc B))
4	2, 3	mtbird 714	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ A ~~ B) -> -. A ~~ suc B)
5	4	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> -. A ~~ suc B)
6		endomtr 4410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A ~~ B /\ B ~<_ suc B) -> A ~<_ suc B)
7		sssucid 3043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B (_ suc B
8		ssdomg 4398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. om -> (B (_ suc B -> B ~<_ suc B))
9	7, 8	mpi 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. om -> B ~<_ suc B)
10	6, 9	sylan2 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A ~~ B /\ B e. om) -> A ~<_ suc B)
11	10	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. om /\ A ~~ B) -> A ~<_ suc B)
12	11	a1d 12	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. om /\ A ~~ B) -> (om (_ A -> A ~<_ suc B))
13	12	adantll 392	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> (om (_ A -> A ~<_ suc B))
14		ssel 2060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (om (_ A -> (B e. om -> B e. A))
15	14	com12 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. om -> (om (_ A -> B e. A))
16	15	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. om /\ A e. On) -> (om (_ A -> B e. A))
17		ordelsuc 3067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. om /\ Ord A) -> (B e. A <-> suc B (_ A))
18		eloni 2954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. On -> Ord A)
19	17, 18	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. om /\ A e. On) -> (B e. A <-> suc B (_ A))
20	16, 19	sylibd 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. om /\ A e. On) -> (om (_ A -> suc B (_ A))
21		ssdom2g 4399	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. On -> (suc B (_ A -> suc B ~<_ A))
22	21	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. om /\ A e. On) -> (suc B (_ A -> suc B ~<_ A))
23	20, 22	syld 27	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. om /\ A e. On) -> (om (_ A -> suc B ~<_ A))
24	23	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (om (_ A -> suc B ~<_ A))
25	24	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> (om (_ A -> suc B ~<_ A))
26	13, 25	jcad 599	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> (om (_ A -> (A ~<_ suc B /\ suc B ~<_ A)))
27		sbth 4446	. . . . . . . 8 |- ((A ~<_ suc B /\ suc B ~<_ A) -> A ~~ suc B)
28	26, 27	syl6 22	. . . . . . 7 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> (om (_ A -> A ~~ suc B))
29	5, 28	mtod 108	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> -. om (_ A)
30		ordom 3137	. . . . . . . . . 10 |- Ord om
31		ordtri1 2976	. . . . . . . . . 10 |- ((Ord om /\ Ord A) -> (om (_ A <-> -. A e. om))
32	30, 31	mpan 694	. . . . . . . . 9 |- (Ord A -> (om (_ A <-> -. A e. om))
33	18, 32	syl 10	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (om (_ A <-> -. A e. om))
34	33	con2bid 525	. . . . . . 7 |- (A e. On -> (A e. om <-> -. om (_ A))
35	34	ad2antrr 404	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> (A e. om <-> -. om (_ A))
36	29, 35	mpbird 196	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> A e. om)
37		simplr 413	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> B e. om)
38	36, 37	jca 288	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> (A e. om /\ B e. om))
39		nneneq 4501	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ~~ B <-> A = B))
40	39	biimpa 416	. . . 4 |- (((A e. om /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> A = B)
41	38, 40	sylancom 475	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. om) /\ A ~~ B) -> A = B)
42	41	ex 373	. 2 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A ~~ B -> A = B))
43		eqeng 4382	. . 3 |- (A e. On -> (A = B -> A ~~ B))
44	43	adantr 389	. 2 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A = B -> A ~~ B))
45	42, 44	impbid 515	1 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A ~~ B <-> A = B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2044   class class class wbr 2615  Ord word 2943  Oncon0 2944  suc csuc 2946  omcom 3127   ~~ cen 4357   ~<_ cdom 4358

This theorem is referenced by:  onfin 4508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-er 4254  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362

Copyright terms: Public domain