Theorem onsseleq 3005

Description: Relationship between subset and membership of an ordinal number.

Assertion

Ref	Expression
onsseleq	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))

Proof of Theorem onsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 2982	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
2		eloni 2964	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3		eloni 2964	. 2 |- (B e. On -> Ord B)
4	1, 2, 3	syl2an 456	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  Ord word 2953  Oncon0 2954

This theorem is referenced by:  onmindif2 3067  onssel 3115  on0eqelt 3130  oaword 4189  omword 4207  oeword 4223  oewordi 4224  r1ord3 4667  cardnn 4834  cardaleph 4896  om2uzlt2 6300

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain