Theorem onssmin 3014

Description: A non-empty class of ordinal numbers has a smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
onssmin	|- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 3012	. . 3 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
2		intss1 2552	. . . 4 |- (y e. A -> |^|A (_ y)
3	2	rgen 1701	. . 3 |- A.y e. A |^|A (_ y
4	1, 3	jctir 293	. 2 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> (|^|A e. A /\ A.y e. A |^|A (_ y))
5		sseq1 2085	. . . 4 |- (x = |^|A -> (x (_ y <-> |^|A (_ y))
6	5	ralbidv 1666	. . 3 |- (x = |^|A -> (A.y e. A x (_ y <-> A.y e. A |^|A (_ y))
7	6	rcla4ev 1880	. 2 |- ((|^|A e. A /\ A.y e. A |^|A (_ y) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)
8	4, 7	syl 10	1 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A x (_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  (/)c0 2283  |^|cint 2537  Oncon0 2954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain