MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssmin Unicode version

Theorem onssmin 4587
Description: A non-empty class of ordinal numbers has a smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 3-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onssmin  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y
)
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem onssmin
StepHypRef Expression
1 onint 4585 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  A )
2 intss1 3878 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  |^| A  C_  y )
32rgen 2609 . 2  |-  A. y  e.  A  |^| A  C_  y
4 sseq1 3200 . . . 4  |-  ( x  =  |^| A  -> 
( x  C_  y  <->  |^| A  C_  y )
)
54ralbidv 2564 . . 3  |-  ( x  =  |^| A  -> 
( A. y  e.  A  x  C_  y  <->  A. y  e.  A  |^| A  C_  y ) )
65rspcev 2885 . 2  |-  ( (
|^| A  e.  A  /\  A. y  e.  A  |^| A  C_  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y )
71, 3, 6sylancl 643 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  C_  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   (/)c0 3456   |^|cint 3863   Oncon0 4391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-br 4025  df-opab 4079  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395
  Copyright terms: Public domain W3C validator