Theorem onssneli 3107

Description: An ordering law for ordinal numbers.

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onssneli	|- (A (_ B -> -. B e. A)

Proof of Theorem onssneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. . . . 5 |- A e. On
2	1	onel 3104	. . . 4 |- (B e. A -> B e. On)
3		eloni 2964	. . . 4 |- (B e. On -> Ord B)
4		ordirr 2972	. . . 4 |- (Ord B -> -. B e. B)
5	2, 3, 4	3syl 20	. . 3 |- (B e. A -> -. B e. B)
6		ssel 2066	. . . 4 |- (A (_ B -> (B e. A -> B e. B))
7	6	com12 11	. . 3 |- (B e. A -> (A (_ B -> B e. B))
8	5, 7	mtod 108	. 2 |- (B e. A -> -. A (_ B)
9	8	con2i 97	1 |- (A (_ B -> -. B e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   e. wcel 960   (_ wss 2050  Ord word 2953  Oncon0 2954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain