Theorem ontri1 3009

Description: A trichotomy law for ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
ontri1	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> -. B e. A))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 3008	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
2		eloni 2985	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3		eloni 2985	. 2 |- (B e. On -> Ord B)
4	1, 2, 3	syl2an 456	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> -. B e. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 994   (_ wss 2099  Ord word 2974  Oncon0 2975

This theorem is referenced by:  oneqmini 3024  onmindif 3061  onint 3152  onnmin 3160  onmindif2 3169  dfom2 3220  oawordeulem 4324  odi 4346  rankr1lem 4819  rankr1 4820  rankr1a 4823  rankel 4826  unbndrank 4829  rankxplim3 4860  cardne 4978  carden 4979  carddom 4985  domtri 4987  sdomel 4997  cardsdomel 5002  ondomcard 5007  cardprc 5011  alephord 5025  alephord3 5028  alephle 5034  om2uzlt2i 6662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979

Copyright terms: Public domain