Theorem ontri1 2976

Description: A trichotomy law for ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
ontri1	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> -. B e. A))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 2975	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
2		eloni 2953	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3		eloni 2953	. 2 |- (B e. On -> Ord B)
4	1, 2, 3	syl2an 454	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> -. B e. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956   (_ wss 2043  Ord word 2942  Oncon0 2943

This theorem is referenced by:  onint 3001  onnmin 3010  oneqmini 3012  onmindif 3055  onmindif2 3056  dfom2 3128  oawordeulem 4178  odi 4200  rankr1lem 4653  rankr1 4654  rankr1a 4657  rankel 4660  unbndrank 4663  rankxplim3 4694  cardne 4810  carden 4811  carddom 4816  domtri 4818  sdomel 4827  cardsdomel 4832  ondomcard 4837  cardprc 4841  alephord 4855  alephord3 4858  alephle 4864  om2uzlt2 6244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947

Copyright terms: Public domain