Theorem onun 3100

Description: The union of two ordinal numbers is an ordinal number.

Hypotheses

Ref	Expression
on.1	|- A e. On
on.2	|- B e. On

Assertion

Ref	Expression
onun	|- (A u. B) e. On

Proof of Theorem onun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.2	. . . 4 |- B e. On
2	1	onord 3085	. . 3 |- Ord B
3		on.1	. . . 4 |- A e. On
4	3	onord 3085	. . 3 |- Ord A
5		ordtri2or 3067	. . 3 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B e. A \/ A (_ B))
6	2, 4, 5	mp2an 695	. 2 |- (B e. A \/ A (_ B)
7	3	onelun 3094	. . . 4 |- (B e. A -> (A u. B) = A)
8	7, 3	syl6eqel 1548	. . 3 |- (B e. A -> (A u. B) e. On)
9		ssequn1 2190	. . . 4 |- (A (_ B <-> (A u. B) = B)
10		eleq1 1526	. . . . 5 |- ((A u. B) = B -> ((A u. B) e. On <-> B e. On))
11	1, 10	mpbiri 194	. . . 4 |- ((A u. B) = B -> (A u. B) e. On)
12	9, 11	sylbi 199	. . 3 |- (A (_ B -> (A u. B) e. On)
13	8, 12	jaoi 341	. 2 |- ((B e. A \/ A (_ B) -> (A u. B) e. On)
14	6, 13	ax-mp 7	1 |- (A u. B) e. On

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 953   e. wcel 955   u. cun 2035   (_ wss 2037  Ord word 2937  Oncon0 2938

This theorem is referenced by:  rankun 4663  rankelpr 4680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942

Copyright terms: Public domain